뭐든지 다 알아보자

20. 모비율이 p= 0.25인 모집단으로부터 크기가 각각 다음과 같은 표본을 임의로 선정한다. 표본비율이 p+-1 0.1 안에 있을 근사확률을 구하고, 표본의 크기가 커짐에 따른 확률의 변화를 비교

https://knowallworld.tistory.com/306

1> n = 50

^p ~ N(0.25 , 0.25 * 0.75 / 50) = N(0.25 , 0.00375)

P(p-0.1 < ^p < p + 0.1) = P(-0.1 / 루트(0.00375) < Z < 0.1/루트(0.00375) = [ P(Z< 0.1/루트(0.00375) ) - P(Z<0) ] *2 = P(-1.63<= Z <= 1.63) =0.8969

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.10) / math.sqrt(0.00375 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> n = 100

^p ~ N(0.25 , 0.25 * 0.75 / 100) 

P(p-0.1 < ^p < p + 0.1) = P(-0.1 / 루트(0.25 * 0.75 / 100) < Z < 0.1/루트(0.25 * 0.75 / 100) = [ P(Z< 0.1/루트(0.25 * 0.75 / 100) ) - P(Z<0) ] *2 = P(-2.31 <= Z <= 2.31) = 0.9791

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.10) / math.sqrt(0.25*0.75 / 100 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

3> n = 150

P(p-0.1 < ^p < p + 0.1) = P(-0.1 / 루트(0.25 * 0.75 / 150) < Z < 0.1/루트(0.25 * 0.75 / 150) = [ P(Z< 0.1/루트(0.25 * 0.75 / 150) ) - P(Z<0) ] *2 = P(-2.83 <= Z <= 2.83) = 0.9953

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.10) / math.sqrt(0.25*0.75 / 150 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

21. 1484만 6천명은 국민 30%에 해당하는 비율이다. 2015년 해외여행 계획하는 사람의 비율을 조사하기 위하여 500명을 임의로 선정하여 조사.

1> 표본비율의 근사 확률분포

 ^p ~ N(0.3 , 0.3 * 0.7 / 500) 

2> | ^p - p | 가 0.05보다 작을 확률

P( | ^p - p | < 0.05 ) = P(-0.05 < ^p - p < 0.05 ) = [ P( ^p - p < 0.05 ) - P(Z<0)] * 2 = [P( (^p-p) / 루트(0.3*0.7/500) < 0.05 / 루트(0.3*0.7/500) ) - P(Z<0)] * 2 = [ P(Z < 0.05/루트(0.3 * 0.7 / 500) ) - P(Z<0) ] * 2 = P(-2.44 <= Z <= 2.44) = 0.9853

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.05) / math.sqrt(0.3*0.7 / 500 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

3> 표본비율 p_0보다 클 확률이 0.025인 p_0를 구하라.

P(^p >  p_0 ) = P( (^p - p) / 분산 > (p_0 - p) / 분산 ) = P(Z > (p_0 - p) / 분산) = P(Z > (p_0 - 0.3 / 루트(0.3 * 0.7 / 500) ) = 0.025

p_0 = 0.3401

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# z_1 = round((0.05) / math.sqrt(0.3*0.7 / 500 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1- 0.025) ,2 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2 , .12, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.3, .012), xytext=(3 , .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


p = Symbol('p')

a = solve( (p - 0.3)/math.sqrt(0.3*0.7/500) - 1.96)

print(a)

22. 소비자의 75%가 땅콩이나 캐러멜 등을 첨가한 초콜릿 좋아한다. 첨가물이 포함된 초콜릿을 좋아하는지 알아보기 위하여 200명의 소비자를 임의로 선정

1> 표본비율의 근사 확률분포

모비율 p = 0.75

^p ~ N(0.75 , 0.75*0.25 / 200)

2> 표본비율이 78%를 초과할 확률

P(^p > 0.78)  = P(Z > 0.78 - 0.75 / 루트(0.75*0.25 / 200) ) = 1 - P(Z< 0.78 - 0.75 / 루트(0.75*0.25 / 200) ) =  P(0.98 < Z) = 0.1635

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.78 - 0.75) / math.sqrt(0.75 * 0.25 / 200 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1- 0.025) ,2 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2 , .12, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.3, .012), xytext=(3 , .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

3> 표본비율의 95%의 백분위수

P(^p <= a ) = 0.95

P( (^p - p) / 분산  <= (a-p) / 분산 ) = P(Z<= (a-0.75 /  루트(0.75*0.25 / 200) ) = 0.95

P(Z<= 1.64) = 0.95

a = 0.8002

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# z_1 = round((0.95 - 0.75) / math.sqrt(0.75 * 0.25 / 200 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(0.95) ,2 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2 , .12, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .12), xytext=(1.9 , .12)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


a = Symbol('a')

b = solve( (a-0.75) / math.sqrt(0.75*0.25 / 200) - z_1)

print(b)

23. 주부들의 20%가 식품비로 주당 10만원 이상을 소비한다. 모비율 20%라는 가정 아래서 무작위로 1000명의 주부를 표본으로 선정

1> 표본비율의 근사 확률분포를 구하라.

모비율 = 0.2

n = 1000

^p ~ N(0.2 , 0.2 * 0.8 / 1000)

2> 표본비율이 p+- 0.02 안에 있을 근사확률

P(p-0.02 < ^p < p+0.02) = P(-0.02 / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000) < Z < 0.02 / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000) ) = [ P(Z<0.02 / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000)) -P(Z<0) ] * 2 = P(-1.58 <= Z <= 1.58) = 0.8859

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.02) / math.sqrt(0.2*0.8 / 1000 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

3> 표본비율의 90%, 95% 그리고 99%의 백분위수를 구하라.

P(^p <= a ) = 0.9

==> P(Z<= (a-p) / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000) ) = P(Z<= 1.28)

a = 0.216

P(^p <= a ) = 0.95

==> P(Z<= (a-p) / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000) ) = P(Z<= 1.64)

a= 0.22

P(^p <= a ) = 0.99

P(Z<= (a-p) / 루트 (0.2 * 0.8 / 1000) )  = P(Z<= 2.33)

a= 0.229

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# z_1 = round((0.95 - 0.75) / math.sqrt(0.75 * 0.25 / 200 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(0.99) ,2 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2 , .12, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .12), xytext=(1.9 , .12)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


a = Symbol('a')

b = solve( (a-0.2) / math.sqrt(0.2*0.8 / 1000) - z_1)

print(b)

24. 49.5%의 지지율, 이번선거 에서도 지난 선거의 지지율을 얻을 수 있는지 알기 위하여 400명의 유권자 상대로 조사하여 49%를 초과할 확률

모비율(p) = 0.495

n = 400

P(^p > 0.49) = P(Z > (0.49 - 0.495) / 루트(0.495* (1-0.495) / 400) ) = P(-0.2<= Z) = 0.5793

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.49 - 0.495) / math.sqrt(0.495 * (1-0.495) / 400 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1- 0.025) ,2 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2 , .12, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.3, .012), xytext=(3 , .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

1. HTML 편집기를 통해 /BODY 태그 위에 코드 넣기

<script type="text/x-mathjax-config">
  MathJax.Hub.Config({
    tex2jax: {
      inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
      processEscapes: true
    }
  });
</script>
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.2/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML'></script>

2. 형식

$ \widehat{p}_1 $

$$사이에 LATEX 형식으로 집어넣는다.

https://webdemo.myscript.com/views/math/index.html#

==> 여기 사이트에선 자동으로 변환시켜준다.

14. 어느 주식의 가격이 매일 1단위 오를 확률은 0.52이고, 1단위 내릴 확률은 0.48이다. 첫째날 200을 투자하여 100일후의 가격은 X = 200 + for i in range(1, 101) : X_i += X_i-1

1> 주식의 등락금액 X_i , i= 1,2, ·····100의 확률함수를 구하라.

p(x) =

0.52 , x= 1

0.48 , x = -1

https://knowallworld.tistory.com/241

2> X_i의 평균과 분산

https://knowallworld.tistory.com/246

==> 이산확률변수의 평균과 분산 구하기

평균 : 0.52 * 1 + (-1) * 0.48 = 0.04

분산 : 1**2(0.52) + (-1)**2 *0.48  - 0.04**2 = 0.9984

3>중심극한정리에 의하여 100일 후의 가격이 210 이상일 확률

https://knowallworld.tistory.com/303

시그마_|X ~ N(0.04 * 100 , 0.9984 * 100) = N(4 , 99.84) = N(4 , 9.99**2)

X ~ N(4 + 200 , 9.99**2)

P(X>=210) = 1- P(Z<= 210 - 204 / 9.99 ) = P(0.6<=Z) = 0.2743

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((210 - 204) / 9.99 ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(1.71 , .17, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0.7, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

15. 음주운전 단속에서 100일간 면허 정지 처분을 받은 사람들의 혈중 알코올 농도를 측정한 결과, 평균 0.075이고, 표준편차가 0.009라고 한다. 64명이 면허 정지 처분을 받았다고 하자.

==> 표본평균의 표준정규분포

1> 면허 정지 처분을 받은 사람들의 알코올 농도의 평균에 관한 표본분포를 구하라.

n = 64

n = 64

X ~ N(0.075 , 0.009**2)

|X ~ N(0.075 , 0.009**2/ 64)

2> 평균 혈중 알코올 농도가 0.077이상일 확률

P(|X>= 0.077) = P(Z>= 0.077 - 0.075 / 루트(0.009/64) ) = 1 - P(Z<= 0.077 - 0.075 / 루트(0.009/64) ) = P(Z>0.17) = 0.4325

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.077 - 0.075) / math.sqrt(0.009**2/64) ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(1.71 , .17, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.1, .017), xytext=(2.1 , .14)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

16. 주택을 소유한 모든 사람들의 화재로 인한 연간 평균 손실이 25만원이고, 표준편차는 100만원, 손실 금액은 거의 대부분이 0원이고 단지 몇몇 손실이 매우 크게 나타나는 양의 비대칭분포, 1000명 대상으로 조사

1>표본평균의 표본분포

n = 1000

뮤 = 25

모분산 = 100**2

|X ~ N(25 , 100/1000)

2>표본평균이 28만원을 초과하지 않을 확률

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((28-25) / math.sqrt(100**2/1000) ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area = (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(-3.71 , .16, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-1.1, .14), xytext=(-2.1 , .14)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

P(|X<28) = P(Z< 28-25 / 루트(100/1000) ) = P(Z<= 0.95) = 0.8289

17. 이종격투기 선수들의 평균 악력은 90kg , 표준편차 9kg

1> 36명의 선수를 선정시 , 평균 악력이 87kg과 93kg 사이일 근사확률

n = 36

뮤 = 90

s = 9

|X ~ N(90 , 9**2 / 36) 

P(87<= |X <= 93) =  [ P(93-90 / 루트(9**2/36) <= Z) - P(Z<=0) ] * 2 = P(-2<=Z<=2) = 0.9545

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((93-90) / math.sqrt(9**2 / 36 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> 64명의 선수를 선정시 , 평균 악력이 87kg과 93kg 사이일 근사확률

P(-2.67<=Z<=2.67) = 0.9924

18. 모분산이 0.35인 정규모집단으로부터 크기 8인 표본을 추출한다.

https://knowallworld.tistory.com/305

==> 카이제곱분포

1> 표본분산과 관련된 통계량 V = (n-1)**2 * S**2 / 모분산 의 분포를 구하라.

모분산 = 0.35

크기 = 8

V = (8-1)*S**2 / 0.35 ~ X**2(7)

2> 표본조사한 결과가 다음과 같을 때 관찰된 표본분산의 값 s_0**2을 구하라.

2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4

a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))

표본분산 = 0.3498

3> P(S**2 < s_1) = 0.05를 만족하는 s_1을 구하라.

P(X < 7*s_1 / 0.35) = 0.05 

7*s_1**2 /0.35 = 14.07

s_1 = 0.1083

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 7
a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.05)
print(X_r)

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x<=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(-2 , .017, 'P(X <' + r'$\chi^2_{0.95})$'  + f"= {round(area,4)}" ,fontsize=12)
plt.annotate('' , xy=(1, .002), xytext=(0 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r+1 , .048, r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.2, .025), xytext=(5 , .044)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

4> P(S**2 > s_2) = 0.05를 만족하는 s_2을 구하라.

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 7
a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.95)
print(X_r)

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(20 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.05})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(17, .002), xytext=(20 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 8, .01,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(14, .01), xytext=(10 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

s  = 0.7033

19. 건강한 성인이 하루에 소비하는 물의 양은 평균 1.5L , 분산 0.04761인 정규분포 따른다. 10명의 성인을 무작위로 선정하여 하루 동안 소비하는 물의 양 측정

1> 표본분산과 관련된 통계량 V = (n-1)*S**2 / 모분산 의 분포를 구하라.

n = 10

모분산 = 0.04761

V = (10-1)*S**2 / 0.04761 ~ X**2(9)

2> 표본조사한 결과가 [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7] , 관찰된 표본분산의 값 s_0**2 를 구하라.

a = [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7]

print(np.var(a, ddof =1 ))

s_0**2 = 0.0312

3> 이 표본을 이용하여 통계량의 관찰값 카이제곱값을 구하라.

X_0**2 = 9* 0.0312 / 0.04761 = 5.9021

4> 표본분산 S**2이 s_0**2보다 클 확률

자유도 = 9

P(S**2 >= s_0**2) = P(9*S**2 / 0.04761 >= 9*s_0**2 / 0.04761) = P(V>= 9*s_0**2 / 0.04761) = P(V>= 5.9021) = 0.7497

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.95)
print(X_r)
X_r = 5.9021

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(20 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.05})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(17, .002), xytext=(20 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 3.5, .015,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(5.9, .01), xytext=(2 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

5> P(S**2 > s_1**2) = 0.025인 s_1**2을 구하라.

P(V > 9*s_1**2 / 0.04761) = 0.025

9*s_1**2 / 0.04761 = 19.02

s_1**2 = 0.1006

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 9
a = [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(1- 0.025)
print(X_r)
# X_r = 5.9021

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(25 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.025})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(22, .002), xytext=(25 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 3.5, .008,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(19, .005), xytext=(15 , .005)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (dof*(s))/0.04761 - X_r))

https://knowallworld.tistory.com/305

==>카이제곱분포는 정규모집단의 모분산에 대한 통계적 추론에 사용

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

11.모평균이 뮤인 정규모집단으로부터 크기 9인 표본을 임의로 추출한다. 추출된 표본의 표본분산이 25일때 P( | |X - 뮤 | < k) = 0.9를 만족하는 상수 k를 구하라.

모분산 = 모름

크기 = 9

표본분산 = 25

==> 모분산을 모를때는 t-분포를 활용한다.

https://knowallworld.tistory.com/302

자유도 = 9-1 = 8

T = (|X - 뮤) / (25/루트(9)) ~ t(8)

P( | |X-뮤 | < k ) = P ( |T| < t_0 ) = 0.90

t_0 = k / (25/루트(9))

P(T>t_0) = 0.05

X = np.arange(-5,5 , .01)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
dof_2 = [8] #자유도

ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) )
t_r =  scipy.stats.t(dof_2).ppf(1- 0.05)
print(t_r)



ax.fill_between(X, scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X>=t_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔

ax.vlines(x = t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(t_r) , colors = 'black')

plt.annotate('' , xy=(2.0, .007), xytext=(2.5 , .16)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.text(1.71 , .17, r'$P(T>t_{0.05})$' + f'= {0.05}',fontsize=15)


ax.text(t_r - 1 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {t_r}'  , fontsize = 13)


b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

k = Symbol('k')
k = solve((math.sqrt(25/9)) * t_r[0] - k)
print(k)

k = Symbol('k')
k = solve((math.sqrt(25/9)) * t_r[0] - k)
print(k)

t_0 = 1.86

k = 3.1

12. 평균 198인 정규분포 , 25명을 무작위로 선정하여 측정 결과 표본평균이 197, 표본평균편차가 3.45

1> 표본평균 |X에 대한 표본분포를 구하라.

==>모분산을 모른다.

|X ~ N (197 , 모분산/ 25)

루트 (모분산/25) = 3.45

모분산 = 297.562

P(196.82 <= |X <= 199.18) = [P(199.18 - 197 / 3.45 ) - P(Z<=0)] * 2

==> 틀리다.

T =  (|X - 198) / (3.45 / 5 ) ~ t(25-1)

2> 표본평균이 196.82와 199.18 사이일 근사확률을 구하라.

P(196.82 <= T <= 199.18) = P(  (196.82 - 197) / ( (3.45 / 5 ) < T <=  (199.18 - 197) / ( (3.45 / 5 ) ) = ( P(T<=1.71) - P(T<=0) ) * 2 = P(-1.71 <= T <= 1.71) = 0.9

X = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
dof_2 = [24] #자유도

ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) )
#t_r =  scipy.stats.t(dof_2).ppf(1- 0.05)
t_r = round( (199.18 - 198) / ( (3.45 / 5 ) ) , 2)




ax.fill_between(X, scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X<=t_r) & (X>=-t_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔

ax.vlines(x = -t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(-t_r) , colors = 'black')
ax.vlines(x = t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(t_r) , colors = 'black')
plt.annotate('' , xy=(0, .16), xytext=(1.5 , .16)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


area = (scipy.stats.t(dof_2).cdf(t_r) - scipy.stats.t(dof_2).cdf(0) ) * 2
ax.text(1.71 , .17, r'$P(T>t_{})$' + f'= {round(area[0], 2)}',fontsize=15)


ax.text(t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {t_r}'  , fontsize = 13)
ax.text(-t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {-t_r}'  , fontsize = 13)

b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

3> 표본평균이 상위 2.5%인 경계수치를 구하라.

t_r = 2.064 = x- 198 / (3.45 / 5 )

x = 199.424

X = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
dof_2 = [24] #자유도

ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) )
t_r =  scipy.stats.t(dof_2).ppf(1- 0.025)
# t_r = round( (199.18 - 198) / ( (3.45 / 5 ) ) , 2)




ax.fill_between(X, scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X>=t_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔

# ax.vlines(x = -t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(-t_r) , colors = 'black')
ax.vlines(x = t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(t_r) , colors = 'black')
plt.annotate('' , xy=(2.5, .005), xytext=(2.5 , .16)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


area = 1- scipy.stats.t(dof_2).cdf(t_r)
ax.text(1.71 , .17, r'$P(T>t_{0.025})$' + f'= {round(area[0], 3)}',fontsize=15)


ax.text(t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {t_r}'  , fontsize = 13)
# ax.text(-t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {-t_r}'  , fontsize = 13)

b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

13. 평균 5000시간인 정규분포, 전구 16개 구입하여 , |x = 4800시간 , s = 1000시간

1> 표본평균 |X의 표본분포를 구하라.

모분산 모른다.

|X - 5000 / 루트(1000**2 / 16 ) ~ t(16-1)

2> 이 표본을 이용하여 P(| |X -5000 | < x_0 ) = 0.9를 만족하는 x_0를 구하라.

n = 16

자유도 = 15

(P(  (x_0) / 루트(1000**2 / 16 ) < T ) - 0.5) * 2 = 0.9

P(  (x_0) / 루트(1000**2 / 16 ) < T ) = 0.95

t_0.05 = (x_0) / 루트(1000**2 / 16 ) = 1.753

x_0 = 438.25

X = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
dof_2 = [15] #자유도

ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) )
t_r =  scipy.stats.t(dof_2).ppf(0.95)
# t_r = round( (199.18 - 198) / ( (3.45 / 5 ) ) , 2)




ax.fill_between(X, scipy.stats.t(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X>=t_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔

# ax.vlines(x = -t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(-t_r) , colors = 'black')
ax.vlines(x = t_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.t(dof_2).pdf(t_r) , colors = 'black')
plt.annotate('' , xy=(2.5, .005), xytext=(2.5 , .16)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


area = 1- scipy.stats.t(dof_2).cdf(t_r)
ax.text(1.71 , .17, r'$P(T>t_{0.05})$' + f'= {round(area[0], 3)}',fontsize=15)


ax.text(t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {t_r}'  , fontsize = 13)
# ax.text(-t_r - 0.8 , 0.02 , r'$t_r$' + f'= {-t_r}'  , fontsize = 13)

b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

x = Symbol('x')

print(solve(1.753 * math.sqrt(1000**2/16) - x))

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

8. 평균 = 198 , 분산 = 36인 정규분포

1> 임의로 1명을 선정하였을때, 이 사람의 혈압이 196과 200사이일 확률

X ~ N(198 , 36)

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((200-198) / math.sqrt(36) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>= -z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

P(196<= X <= 200) = P( (196-198) / 6 <= Z <= (200-198) / 6 ) = [P(Z<= (200-198) / 6 ) - P(Z<= 0)] *2 =P(-0.33 <= Z <= 0.33) = 0.2586

2> 100명을 임의로 선정하여 표본을 만들때, 표본평균 |X의 표본분포를 구하라.

X ~ N(198 , 36)

|X ~ N(198 , 36/100)

3> 표본평균이 196과 200 사이일 확률

P(196<= |X <= 200) = P( (196 -198) / 루트(36/100) <= Z <= (200-198)/ 루트(36/100) ) = [ P(Z<=(200-198)/ 루트(36/100) ) - P(Z<=0) ] * 2 = P(-3.33<=Z<= 3.33) = 0.9991

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((200-198) / math.sqrt(36/100) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>= -z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

4> 표본평균이 뮤+- (모표준편차/5) 사이일 확률

모표준편차 = 6

표본평균편차 = 루트(36/100)  

P( 뮤- (모표준편차/5) <= |X <= 뮤+ (모표준편차/5) ) =  [ P(Z<=  [뮤 + (모표준편차/5) - 뮤] / 표본평균편차 ) - P(Z<= 0) ] * 2 =  [ P(Z<= (모표준편차 / (표본평균편차*5) ) - P(Z<=0) ]  * 2 = P(-2<= Z <= 2) = 0.9545

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((6/5) / math.sqrt(36/100) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>= -z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

9. 1km당 0.5g 이하일 것을 요구. 유럽에 수출하기 위하여 국내에서 생산된 특정 모델의 자동차에서 내뿜는 배기가스에 포함된 질소산화물은 1km당 평균 0.45g, 표준편차 0.05g인 정규분포를 따른다.

1> 이 모델의 자동차 한 대를 무작위로 선정했을 때, 유럽연합의 기준에 포함될 확률

X ~ N(0.45 ,0.05**2)

P(X<=0.5) = P(Z<= (0.5- 0.45) / 0.05 ) = P(Z<= 1.0) = 0.6827

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.5- 0.45) / math.sqrt(0.05**2) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(1.71 , .17, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> 9대의 자동차를 무작위로 선정했을때, 표본평균이 유럽연합의 기준에 포함될 확률

n= 9

X ~ N(0.45 , 0.05**2)

|X ~ N(0.45 , 0.05**2 / 9 )

P(|X <= 0.5) = P(Z <=  (0.5 -0.45) / 루트(0.05**2 / 9 ) ) = P(Z<= 3.0) = 0.9973

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.5- 0.45) / math.sqrt(0.05**2 / 9 ) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

10. 평균 35시간, 표준편차 5.5시간 , 25개를 임의로 수거해서 조사==> 표본평균

n = 25

|X ~ N(35 , (5.5**2)/25)

1> 평균 사용시간이 36시간 이상일 확률

P(|X>=36) = 1 - P(|X<=36) = 1 - P(Z<= (36-35) / 루트((5.5**2)/25) ) = P(Z>=0.91) = 0.1814

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((36-35) / math.sqrt(5.5**2 / 25 ) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2.31 , .08, f'P(Z>={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(1.1, .08), xytext=(2.2 , .08)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> 평균 사용시간이 33시간 이하일 확률

P(|X<=33) = P(Z<=  (33-35) /루트((5.5**2)/25)) = P(Z<= -1.82) = 0.0344

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((33-35) / math.sqrt(5.5**2 / 25 ) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(-5.31 , .04, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-2.1, .04), xytext=(-3.2 , .04)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

3> 평균 사용시간이 34.5시간과 35.5시간 사이의 확률

|X ~ N(35 , (5.5**2)/25)

P(34.5 <= |X <= 35.5) = P(Z <=(35.5-35) / 루트( (5.5**2)/25 ) ) ) - P(Z<=0) )  * 2 = P(-0.45<= Z <= 0.45) =  0.3473

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((35.5- 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=z_2) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

4> 평균 사용시간이 x_0보다 클 확률이 0.025인 x_0를 구하라.

|X ~ N(35 , (5.5**2)/25)

P(|X > x_0) = 0.025

P(|X< x_0) = P(Z<= (x_0 -35)/ 루트(5.5**2 / 25) ) = P(Z>= 1.96) = 0.025

x_0  = 37.1559

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯
z_1 = 2
x_0 = Symbol('x_0')
x_0 = solve( (x_0 -35) / math.sqrt(5.5**2 / 25)  - scipy.stats.norm.ppf((1-0.025)))
# print(x_0[0])
z_1 = round( float( (x_0[0] - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25)),2)
#
print(z_1)
print(type(z_1))
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- stats.norm.cdf(z_1)
ax.text(2.31 , .08, f'P(Z>={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.2, .02), xytext=(2.2 , .08)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

==> SOLVE() 이후 FLOAT()으로의 변환

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

3. 뮤 = 50이고 모표준편차가 다음과 같은 모집단으로부터 크기 25인 확률표본을 선정할 때, 표본평균이 49와 52사이일 확률

https://knowallworld.tistory.com/302

1> 모표준편차 = 4

n = 25

|X ~ N(50 , 4**2/25)

P(49<=|X<=52) = P(|X<= 52) - P(|X<=49) = P(Z<=  (52-50) / 루트(16/25) ) - P(Z<=  (49-50) / 루트(16/25) ) =  P(-1.25 <=Z <=2.5) = 0.8881

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((52-50) / math.sqrt(16/25) ,2)
z_2 = round((49-50) / math.sqrt(16/25) ,2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=z_2) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area_1 = ( stats.norm.cdf(z_1) - stats.norm.cdf(z_2) )

ax.text(2.71 , .17, f'P({z_2}<=Z<={z_1}) : {round(area_1,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(2.5 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> 모표준편차 = 9

n = 25

|X ~ N(50 , 9**2/25)

P(49<=|X<=52) = P(|X<= 52) - P(|X<=49) = P(Z<=  (52-50) / 루트(81/25) ) - P(Z<=  (49-50) / 루트(81/25) ) =  P(-0.56 <=Z <=1.11) = 0.5788

3> 모표준편차 = 12

n = 25

|X ~ N(50 , 12**2/25)

P(49<=|X<=52) = P(|X<= 52) - P(|X<=49) = P(Z<=  (52-50) / 루트(144/25) ) - P(Z<=  (49-50) / 루트(144/25) ) =  P(-0.42 <=Z <=08.83) = 0.4595

4. 뮤 = 50이고 모표준편차가 5인 정규모집단으로 부터 크기 n인 확률표본을 선정할때 , 표본평균이 49와 51사이일 확률

1> n = 16

|X ~ N(50 , 5**2/16)

P(49<=|X<51) = P( ( (49-50) / 루트(5**2/16) ) <= Z <=  ( (51-50) / 루트(5**2)/16 ) = [P(1/루트(5**2/16) <= Z) - P(Z<=0)] * 2 = P(-0.8 <= Z <= 0.8) = 0.5763

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((51-50) / math.sqrt(25/16) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>= -z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

2> n = 49

P(-1.4 <= Z <= 1.4) = 0.8385

3> n = 64

P(-1.6<=Z<=1.6) = 0.8904

5. 뮤 = 45이고 모분산이 9인 정규모집단으로 부터 크기 64인 표본을 추출할때 , 표본평균이 어떤 상수 K보다 작을 확률이 0.95일때, 상수 k를 구하라.

|X ~ N(45 , 9/64)

P(|X<K) = 0.95

P(Z< K-45 / 루트(9/64) ) = 0.95

K-45/루트(9/64) = 1.645

k = Symbol('k')

a = solve( (k-45) / math.sqrt(9/64) - 1.645)

print(a)

k = 45.616

6. 모분산이 36인 정규모집단에서 크기 16인 표본을 임의로 추출할때 , P(| |X- 뮤| >= 3)을 구하라.

1- P( -3 <= |X -뮤 <= 3) = 1- P(-3+뮤 <= |X <= 3+ 뮤) = 1- P( -3 / 루트(36/16) <= Z <= 3 / 루트(36/16) ) = 1- P(-2 <= Z <= 2) = 1- 0.9545 = 0.0455

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((3) / math.sqrt(36/16) ,2)
# z_2 = round((52-50) / math.sqrt(144/25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) | (x<= -z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  0.5 - ((stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)))


ax.text(2.61 , .05, f'P({z_1}>=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.3, .017), xytext=(2.5 , .05)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))





ax.text(-3.71 , .055, f'P(Z<={-z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-2.3, .017), xytext=(-2.5 , .05)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))



plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(-2.5 , .08)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2.5 , .08)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1 , .21, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area*2,4)}',fontsize=15)







ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

7. 모평균이 20 , 모표준편차가 6인 정규모집단에서 크기 n인 표본을 임의로 추출할때, 표본표준편차가 1.5라 한다. 표본의 크기 n을 구하라.

X ~ N(20 , 6**2 )

|X ~ N(20 , 36/n) 

n = Symbol('n')

a = solve(36/n - 1.5**2)

print(a)

루트(36/n) = 1.5

n = 16

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

#N= 366 , 평균 = 899.39 , 표준편차 = 34.72 , 내점수 = 926.42

#내점수의 퍼센테이지

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((926.42 - 899.39) / 34.72, 2)

area    = 1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔

ax.text(1.71 , .15, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)} , 등수 : {366* round(area,4)} ',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2, .017), xytext=(2 , .14)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

https://knowallworld.tistory.com/253

https://plugins.jetbrains.com/plugin/13711-korean-language-pack------

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플러그인 ==> 존재

==>  IDE 껐다 키면 된다.