★모평균을 알때는 카이제곱★중심극한정리(표본평균의 표준정규분포)★이항분포의 평균,분산★기초통계학-[연습문제02 -17]

14. 어느 주식의 가격이 매일 1단위 오를 확률은 0.52이고, 1단위 내릴 확률은 0.48이다. 첫째날 200을 투자하여 100일후의 가격은 X = 200 + for i in range(1, 101) : X_i += X_i-1

 

 

1> 주식의 등락금액 X_i , i= 1,2, ·····100의 확률함수를 구하라.

 

p(x) =

0.52 , x= 1

0.48 , x = -1

 

https://knowallworld.tistory.com/241

이항분포식★이항실험★이항분포의 평균,분산★베르누이시행★기초통계학-[Chapter05 - 이산확률

2> X_i의 평균과 분산

https://knowallworld.tistory.com/246

★푸아송분포★기하분포★초기하분포★베르누이★이산확률변수★기초통계학-[Chapter05 - 연습문

==> 이산확률변수의 평균과 분산 구하기

 

평균 : 0.52 * 1 + (-1) * 0.48 = 0.04

분산 : 1**2(0.52) + (-1)**2 *0.48  - 0.04**2 = 0.9984

 

3>중심극한정리에 의하여 100일 후의 가격이 210 이상일 확률

 

https://knowallworld.tistory.com/303

★lineplot★중심극한정리★기초통계학-[모집단 분포와 표본분포 -04]

 

시그마_|X ~ N(0.04 * 100 , 0.9984 * 100) = N(4 , 99.84) = N(4 , 9.99**2)

 

X ~ N(4 + 200 , 9.99**2)

 

P(X>=210) = 1- P(Z<= 210 - 204 / 9.99 ) = P(0.6<=Z) = 0.2743

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((210 - 204) / 9.99 ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(1.71 , .17, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0.7, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

15. 음주운전 단속에서 100일간 면허 정지 처분을 받은 사람들의 혈중 알코올 농도를 측정한 결과, 평균 0.075이고, 표준편차가 0.009라고 한다. 64명이 면허 정지 처분을 받았다고 하자.

==> 표본평균의 표준정규분포

 

 

1> 면허 정지 처분을 받은 사람들의 알코올 농도의 평균에 관한 표본분포를 구하라.

 

n = 64

n = 64

X ~ N(0.075 , 0.009**2)

 

|X ~ N(0.075 , 0.009**2/ 64)

 

2> 평균 혈중 알코올 농도가 0.077이상일 확률

 

P(|X>= 0.077) = P(Z>= 0.077 - 0.075 / 루트(0.009/64) ) = 1 - P(Z<= 0.077 - 0.075 / 루트(0.009/64) ) = P(Z>0.17) = 0.4325

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((0.077 - 0.075) / math.sqrt(0.009**2/64) ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  1- (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(1.71 , .17, f'P({z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.1, .017), xytext=(2.1 , .14)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

표본평균의 표준정규분포

16. 주택을 소유한 모든 사람들의 화재로 인한 연간 평균 손실이 25만원이고, 표준편차는 100만원, 손실 금액은 거의 대부분이 0원이고 단지 몇몇 손실이 매우 크게 나타나는 양의 비대칭분포, 1000명 대상으로 조사

 

1>표본평균의 표본분포

 

n = 1000

뮤 = 25

모분산 = 100**2

 

|X ~ N(25 , 100/1000)

 

 

2>표본평균이 28만원을 초과하지 않을 확률

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((28-25) / math.sqrt(100**2/1000) ,2)
# z_2 = round((196.82- 198) / 3.45 ,2)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area = (stats.norm.cdf((z_1)))
ax.text(-3.71 , .16, f'P(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-1.1, .14), xytext=(-2.1 , .14)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.vlines(x= z_2, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_2, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

표본평균의 표준정규분포

 

 

P(|X<28) = P(Z< 28-25 / 루트(100/1000) ) = P(Z<= 0.95) = 0.8289

 

17. 이종격투기 선수들의 평균 악력은 90kg , 표준편차 9kg

 

1> 36명의 선수를 선정시 , 평균 악력이 87kg과 93kg 사이일 근사확률

 

n = 36

뮤 = 90

s = 9

 

|X ~ N(90 , 9**2 / 36) 

 

P(87<= |X <= 93) =  [ P(93-90 / 루트(9**2/36) <= Z) - P(Z<=0) ] * 2 = P(-2<=Z<=2) = 0.9545

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

z_1 = round((93-90) / math.sqrt(9**2 / 36 ) ,2)
# z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area =  (stats.norm.cdf((z_1)) - stats.norm.cdf(0)) * 2
ax.text(1.71 , .17, f'P({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(0, .17), xytext=(1.7 , .17)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

표본평균의 표준정규분포

2> 64명의 선수를 선정시 , 평균 악력이 87kg과 93kg 사이일 근사확률

표본평균의 표준정규분포

P(-2.67<=Z<=2.67) = 0.9924

 

18. 모분산이 0.35인 정규모집단으로부터 크기 8인 표본을 추출한다.

https://knowallworld.tistory.com/305

★표본분산 S**2 , 관찰 표본분산 s_0**2★카이제곱분포표★모분산의 표본분포★기초통계학-[모집

==> 카이제곱분포

카이제곱분포

 

카이제곱분포의 평균

 

1> 표본분산과 관련된 통계량 V = (n-1)**2 * S**2 / 모분산 의 분포를 구하라.

 

모분산 = 0.35

크기 = 8

 

V = (8-1)*S**2 / 0.35 ~ X**2(7)

 

 

2> 표본조사한 결과가 다음과 같을 때 관찰된 표본분산의 값 s_0**2을 구하라.

 

2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4

a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))

표본분산 = 0.3498

 

 

3> P(S**2 < s_1) = 0.05를 만족하는 s_1을 구하라.

 

P(X < 7*s_1 / 0.35) = 0.05 

 

 

7*s_1**2 /0.35 = 14.07

 

s_1 = 0.1083

 

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 7
a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.05)
print(X_r)

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x<=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(-2 , .017, 'P(X <' + r'$\chi^2_{0.95})$'  + f"= {round(area,4)}" ,fontsize=12)
plt.annotate('' , xy=(1, .002), xytext=(0 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r+1 , .048, r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2.2, .025), xytext=(5 , .044)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

모분산을 알땐 카이제곱분포

 

4> P(S**2 > s_2) = 0.05를 만족하는 s_2을 구하라.

 

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 7
a = [2.5 , 2.1 , 3.4 , 1.7 , 2.0 , 3.2 , 2.8 , 2.4]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.95)
print(X_r)

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(20 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.05})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(17, .002), xytext=(20 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 8, .01,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(14, .01), xytext=(10 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

모분산을 알때는 카이제곱

s = Symbol('s')

print(solve( (7*(s))/0.35 - X_r))

s  = 0.7033

 

19. 건강한 성인이 하루에 소비하는 물의 양은 평균 1.5L , 분산 0.04761인 정규분포 따른다. 10명의 성인을 무작위로 선정하여 하루 동안 소비하는 물의 양 측정

 

1> 표본분산과 관련된 통계량 V = (n-1)*S**2 / 모분산 의 분포를 구하라.

 

n = 10

모분산 = 0.04761

 

V = (10-1)*S**2 / 0.04761 ~ X**2(9)

 

2> 표본조사한 결과가 [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7] , 관찰된 표본분산의 값 s_0**2 를 구하라.

 

a = [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7]

print(np.var(a, ddof =1 ))

 

s_0**2 = 0.0312

 

3> 이 표본을 이용하여 통계량의 관찰값 카이제곱값을 구하라.

 

X_0**2 = 9* 0.0312 / 0.04761 = 5.9021

 

4> 표본분산 S**2이 s_0**2보다 클 확률

 

자유도 = 9

P(S**2 >= s_0**2) = P(9*S**2 / 0.04761 >= 9*s_0**2 / 0.04761) = P(V>= 9*s_0**2 / 0.04761) = P(V>= 5.9021) = 0.7497

 

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.95)
print(X_r)
X_r = 5.9021

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(20 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.05})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(17, .002), xytext=(20 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 3.5, .015,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(5.9, .01), xytext=(2 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

표본분산 구하는 카이제곱

5> P(S**2 > s_1**2) = 0.025인 s_1**2을 구하라.

 

P(V > 9*s_1**2 / 0.04761) = 0.025

 

9*s_1**2 / 0.04761 = 19.02

s_1**2 = 0.1006

x = np.arange(0,30 , .001)

dof = 9
a = [1.5 , 1.6 , 1.2 , 1.7 , 1.4 , 1.3 , 1.6 , 1.3 , 1.4 , 1.7]

print(np.var(a , ddof =1 ))


fig = plt.figure(figsize=(15,8))

ax = sns.lineplot(x , scipy.stats.chi2(dof).pdf(x)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯


X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(1- 0.025)
print(X_r)
# X_r = 5.9021

ax.fill_between(x, scipy.stats.chi2(dof).pdf(x) , where = (x>=X_r) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(25 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.025})$'  + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(22, .002), xytext=(25 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))


ax.text(X_r - 3.5, .008,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(19, .005), xytext=(15 , .005)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


b = [r'$\chi^2(\eta$ = {})'.format(dof)]
print(b)
plt.legend(b , fontsize = 15)

s = Symbol('s')

print(solve( (dof*(s))/0.04761 - X_r))

표본분산 구하는데 사용하는 카이제곱분포

https://knowallworld.tistory.com/305

★표본분산 S**2 , 관찰 표본분산 s_0**2★카이제곱분포표★모분산의 표본분포★기초통계학-[모집

카이제곱분포

 

카이제곱의 평균

==>카이제곱분포는 정규모집단의 모분산에 대한 통계적 추론에 사용

 

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용