뭐든지 다 알아보자

19. 집에서 학교까지 평균 10분 , 표준편차 1.5분인 정규분포 ==> N (10 , 1.5**2)

1>집에서 학교까지 가는데 12분이상 걸릴 확률

P(X>=12) = P(Z>= (12 -10) / 1.5) =  1 - P(Z<=(12-10)/1.5)

b = scipy.stats.norm.cdf( (12-10) / 1.5)
b

b = scipy.stats.norm.cdf( (12-10) / 1.5)
print(1-b)

P(X>=12) = 0.091

2>집에서 학교까지 가는데 9분안에 도착할 확률

P(0<=X<=9) = P((0-10) / 1.5 <=Z<= (9 -10) / 1.5) = P(Z<= (9 -10) / 1.5)) - P(Z<=(0-10) / 1.5) = 

b = scipy.stats.norm.cdf( -1 / 1.5)
print(b)

P(X<=9) = 0.2524

3>집에서 학교까지 가는데 7분이상 11분 안에 도착할 확률

P(7<=X<=11) = P((7-10) / 1.5 <=Z<= (11 -10) / 1.5) )  = P(Z<= (11 -10) / 1.5)) - P(Z<=(7-10) / 1.5) = 0.7247

b = scipy.stats.norm.cdf( 1 / 1.5) - scipy.stats.norm.cdf( (7-10) / 1.5)
print(b)

20. 성적이  X ~ N(70,16)인 정규분포, A,B,C,D,F를 15% , 30% , 30% , 15% , 10% 비율로 준다. A,B,C,D의 하한점수

A등급 : P(X>=x_A) = 1- P(X<=x_A) =  0.15 

P(Z<= (x_A - 70) /4) = 0.85

b = scipy.stats.norm.ppf(0.85)
print(b)

x_A = 4* 1.036 + 70

 =  74.144

b = 1-  scipy.stats.norm.cdf(0.15)
print(b)

B등급 : P(X>=x_B) = 1 -P(X<=x_B) = 0.45

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.55

b = scipy.stats.norm.ppf(0.55)
print(b)

x_B = 4* (0.1256) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (0.1256) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_B 70.5024

C등급 : P(X>=x_C) = 1 -P(X<=x_C) = 0.75

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.25

b = scipy.stats.norm.ppf(0.25)
print(b)

x_B = 4*(-0.6744) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (-0.6744) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_C = 67.3024

D등급 : P(X>=x_D) = 1 -P(X<=x_D) = 0.9

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.1

b = scipy.stats.norm.ppf(0.1)
print(b)

x_D = 4* (-1.28155) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (-1.28155) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_D = 64.873

21. 고교 3학년 학생 1000명에게 실시한 모의고사에서 국어 X와 수학 Y는 각각 X ~ N(75 ,9) , Y ~ N(68,16) 인 정규분포를 따르고 , 두 성적은 독립

1> 국어점수 X가 82점 이상일 확률 

b = 1- scipy.stats.norm.cdf(7/3)
print(b)

P(X>=82) = P (Z>=  (82-75) / 3) = 1 - P(Z<=(7/3)) = 0.0098

2> 두과목의 점수의 합이 130점이상 , 150점 이하에 해당하는 학생수

X+Y ~ N (75+68 , 9+16) = N(143 , 25)

X-Y ~ N(75-68 , 9 +16)

https://knowallworld.tistory.com/255

==> 추측통계 기법 기억하자!!

P(130<= X+Y <=150) = P( (130-143) / 5 <= Z <=  (150-143) /5 ) = P(-13/5 <=Z<= 7/5) = P(Z<= 7/5) - P(Z<= -13/5) = 0.9145

b = scipy.stats.norm.cdf(7/5) - scipy.stats.norm.cdf(-13/5)
print(b)

1000* 0.9145 = 914.5명

3> 각 과목에서 상위 5%안에 들기 위한 최소점수

P(X>=x_a) = 0.05

P(Z>=  (x_a - 75) / 3) = 1- P( Z<= (x_a - 75) / 3) = 0.05

 P( Z<= (x_a - 75) / 3) = 0.95

b = scipy.stats.norm.ppf(0.95)
print(b)

x_a = 3* 1.644 + 75

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -75) - (1.644) *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_a = 79.932

=================

P(Y>=y_a) = 0.05

P(Z>=  (y_a - 68) / 4) = 1- P( Z<= (y_a - 68) / 4) = 0.05

 P( Z<= (y_a - 68) / 4) = 0.95

b = scipy.stats.norm.ppf(0.95)
print(b)

y_a = 4* 1.644 + 68

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -68) - (1.644) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

y_a = 74.576

22. X ~ B(20, 0.4)에 대하여 연속성을 수정한 근사확률 구하기. ==> 베르누이 시행

==>연속성 수정 +- 0.5

https://knowallworld.tistory.com/257

==> 연속성 수정 참고!

==> P(a<=X <= b) = P(a-0.5 <= X <= b +0.5)

X ~ N(20*0.4 , 20*0.4*0.6) = N(8 , 4.8)

1> P(X<= 10+0.5) = P(Z<= (10+0.5-8)/ 루트(4.8)) =  0.873

b = scipy.stats.norm.cdf((10-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

2> P(7<=X<= 11)

b = scipy.stats.norm.cdf((11-8+0.5)/math.sqrt(4.8)) - scipy.stats.norm.cdf((6-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

= P(6.5 <= X <= 11.5) = P(Z<= (11.5 -8)/루트(4.8)) - P(Z<= (6.5 - 8)/루트(4.8)) = 0.6981

3> P(X>= 15)

b = 1- scipy.stats.norm.cdf((14-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

= 1 - P(X<=14.5) = 1 - P(Z<= (14.5-8)/루트(4.8) ) = 0.0015

23.5지선다 문제 ==> 100문항

X ~ B(100 , 1/5)

==> X ~ N (20 , 16)

1> 선택한 평균 정답 수 

20

2> 정답을 정확히 15개 선택할 근사확률

b = scipy.stats.norm.cdf((15-20+0.5)/4)-scipy.stats.norm.cdf((14-20+0.5)/4)
print(b)

P(X=15) = P(14.5 <= X<= 15.5) = P(X<=15.5) - P(X<=14.5) = P(Z <=(15.5 -20 / 4) ) -  P(Z <=(14.5 -20 / 4) ) = 0.0457

3>25개 이하로 정답을 선택할 근사확률

b = scipy.stats.norm.cdf((5+0.5)/4)
print(b)

P(X<=25) = P(X<=25.5) = P(Z<=  (25.5 -20) / 4 ) = 0.9154

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

13. Z ~ N(0,1)에 대하여 P(Z>=z_a) = a이고 X ~ N(뮤 , 분산)

1> P(X<= 뮤 + 표준편차*z_a) 

P(Z<= (뮤+표준편차*z_a - 뮤) /표준편차) = a

2>P(뮤 - 표준편차* z_(a/2) <= X <= 뮤 + 표준편차*z_(a/2) )

P(-z_(a/2) <= Z <= Z_(a/2) ) =  (P(Z<=z_(a/2) - P(Z<=0)) * 2 = a 

14. X ~ N(60,16)

==> 평균(뮤) = 60 , 분산 = 16

1> P(|X-뮤|<= 0.1* 뮤) 

a = scipy.stats.norm.cdf(1.5)*2 - 1
a

=  (P(X-뮤 <= 0.1*뮤) - P(Z<=0) ) * 2 = (P(Z<=  (뮤+0.1뮤 - 뮤) / 4  - 0.5) * 2 =  ((P(Z<= (0.1뮤)/4) - 0.5 ) * 2 = 2* P(Z<= (1.5) - 1 = 0.8663

2> P(|X-뮤|<= 2.5* 표준편차)  =  (P(Z<= (2.5 ) -0.5) *2 = 2* P(Z<= 2.5) - 1 = 0.987

a = scipy.stats.norm.cdf(2.5)*2 - 1
a

15. X ~ N(뮤,분산) , P(뮤 - k*표준편차 < X < 뮤+ k*표준편차) = 0.754

P(-k < Z < k) = (P(Z<k) - P(Z<0)) * 2 = 0.754

P(Z<k) =  (0.754 + 1) /2 = 0.877

print(1.754 / 2)

b = scipy.stats.norm.ppf(0.877)
b

==> k= 1.16

16. Z에 대해 만족하는 z_0

1> P(Z<=z_0) = 0.9986

b = scipy.stats.norm.ppf(0.9986)
b

==> 2.988

2> P(Z<=z_0) = 0.0154

==> -2.1596

3> P(0<=Z<=z_0) = 0.3554

P(Z<=z_0) - 0.5 = 0.3554

P(Z<=z_0) = 0.8554

==> z_0 = 1.0598

4> P(-z_0<=Z<=z_0)

= P(Z<=z_0)*2 -1 = 0.9030 

P(Z<=z_0) = (1.9030 / 2)

==> z_0 = 1.6595

5> P(-z_0<=Z<=z_0) = 0.2052

P(Z<=z_0)*2 -1 = 0.2052

z_0 = 0.26

6> P(Z>=z_0)

= 1 - P(Z<=z_0) = 0.6915

P(Z<=z_0) = 1 - 0.6915

z_0 = -0.5001

17. X ~ N(10,9) 만족하는 x_0

1> P(X<=x_0) = 0.9986

b = scipy.stats.norm.ppf(0.9986)
b

P(Z<= (x_0 - 10) /3) = 0.9986

(x_0 - 10 / 3) = 2.98888

x = sympy.Symbol('x')
print(2.98*3)
equation = (x -10) - 2.98 *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 18.94

2> P(X<=x_0) = 0.0154

P(Z<= (x_0 - 10) /3 ) = 0.0154

b = scipy.stats.norm.ppf(0.0154)
b

x_0 = -2.159 *3 + 10

#%%
x = sympy.Symbol('x')
equation = (x -10) + 2.1596 *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 3.5212

3> P(10<=X<=x_0) = 0.3554

P( (10-10)/3 <= Z<= (x_0 - 10) /3) = 0.3554

P(0<= Z< = (x_0-10)/3) = P(Z<= (x_0 - 10) / 3) - 0.5 = 0.3554

P(Z<= (x_0 -10) /3) ) = 0.8554

b = scipy.stats.norm.ppf(0.8554)
b

x_0 = 3*(1.0598) +10

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -10) - 1.0598 *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 13.1794

4> P(-x_0<=X<=x_0) = 0.9030

(P(Z<= (x_0 - 10) /3) - P(Z<=0) ) * 2 = 0.9030

P(Z<=(x_0 - 10) /3)) = 0.9030 /2 + 0.5 = 

b = scipy.stats.norm.ppf(0.9030 / 2 + 0.5)
b

x_0 = 3*(1.6595) + 10

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -10) - 1.6595 *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 14.9785

5> P(-x_0 <= X <= x_0) = 0.2052

P(Z<=(x_0 - 10) /3)) = 0.2052 /2 + 0.5 

b = scipy.stats.norm.ppf(0.2052 /2 + 0.5)
b

x_0 = 3*(0.26) + 10

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -10) - 0.26 *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 10.78

6> P(X>= x_0) = 0.6915

1 - P(X<=x_0) = 0.6915

1 - P(Z<=(x_0 - 10) /3)) = 0.6915

P(Z<=(x_0 - 10) /3)) = 1 - 0.6915 

b = scipy.stats.norm.ppf(1-0.6915)
b

x_0 = 3*(-0.5) + 10

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -10) - (-0.5) *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 8.5

18. X ~ N(4,9) 만족

1> P(X<7) = P(Z< (7-4)/3) = P(Z<1) = 0.8413

b = scipy.stats.norm.cdf(1)
b

2> P(4<=X<=x_0) = 0.4750

P(X<=x_0) - p(X<=4) = P(Z<=  (x_0 -4 ) /3 ) - P(Z<=0) = 0.4750

P(Z<= (x_0-4)/3) = 0.975

b = scipy.stats.norm.ppf(0.975)
b

x_0 = 3* 1.9599 +4

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -4) - (1.9599) *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 = 9.8797

3> P(1<X<x_0) = 0.756

P( (1-4) /3 < Z < (x_0 - 4) /3) = 0.756

P(-1 < Z < (x_0 - 4) /3) = P(Z<(x_0 - 4) /3) - P(Z<-1) = 0.756

b = scipy.stats.norm.cdf(-1)
b

P(Z<(x_0 - 4) /3) = 0.1586 + 0.756

b = scipy.stats.norm.ppf(0.1586 + 0.756)
b

x_0 = 3* 1.3696 + 4 

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -4) - (1.3696) *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_0 =  8.1088

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

10. 확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, P(X<=a)=1/4인 상수 a를 구하라. ==> 연속확률변수

f(x) = 2x , 0<=x<=1

0 , otherwise

from sympy import Integral,  Symbol , pprint ,solve

x = Symbol('x')
f = 2 * x

f_x_m = f *x

pprint(Integral(f_x_m, x).doit()) #이쁘게 출력
print('===')

mean_x = Integral(f_x_m, (x, (0, 1))).doit()
print("평균 : {}".format(mean_x)) #적분변수 , 아래끝 , 위끝

var_x = Integral(f_x_m *x, (x, (0, 1))).doit() - math.pow(mean_x , 2)

print("분산 : {}".format(var_x))

==> Symbol 과 Integral , solve 라이브러리 불러온다!

https://knowallworld.tistory.com/261

==> mean = 인테그랄(범위) x*f(X)

==> var = 인테그랄(범위) x**2*f(x)  - 평균의 제곱

#P(X<=a) = P(Z<= (a-평균)/표준편차)) = 1/4
#(a-평균)/표준편차) = X_r
X_r = scipy.stats.norm.ppf(0.25)
print(X_r)
print(var_x)
print(math.sqrt(var_x))
equation = (x- mean_x) / math.sqrt(var_x) - X_r
d = solve(equation)
print(d)

P(X<=a) = 0.25 = P(Z<= (a-평균)/(표준편차) ) 

==> scipy.stats.norm.ppf(0.25) ==> Z값 구할 수 있다!!

==> Z = -0.6744897501960817

==> sympy의 solve 함수 불러온다!!!! ==> 옆에 값이 0이어만 계산이 가능하다.

==> (x- mean_x) / math.sqrt(var_x) - X_r = 

a = 0.507687907931844

11. 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 x축범위가 (0,1) 인 이등변삼각형일 때

import matplotlib.tri as mtri

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
x = np.array([0,1,2]) #삼각형의 x좌표
y = np.array([0,1 , 0]) #삼각형의 y좌표

triangles = [[0,1,2]] #삼각형의 점 개수
triang = mtri.Triangulation(x,y , triangles)

plt.title("삼각 그리드")
plt.triplot(triang , 'ko-')
plt.fill_between(x , x , 0 , where = (x<= 1) & (x>=0) , color = 'orange')
plt.fill_between(x , -x+2 , 0 , where =  (x>=1) & (x<= 2) )

plt.xlim(-0.1 , 2.1)
plt.ylim(-0.1 , 1.6)

plt.text(0.5 , 0.6 , 'y = x' , fontsize = 13 , rotation = 33)
plt.text(1.5 , 0.5 , 'y = -x+2' , fontsize = 13 , rotation = -33)
plt.show()

==> 삼각그리드 그리기

1> 상수 k값 구하기

k = sympy.Symbol('k')
sol_k = 2*k*(1/2) -1 # k * 2 * 1/2
k_sol = solve(sol_k)
print(k_sol)

k =1

2> P(X<=0.6) = 0.6 * (0.6) /2 = 0.18

from sympy import Integral,  Symbol , pprint ,solve

x = Symbol('x')
f_1 =  x
f_2 = -x +2
f_x_1_m = f_1 *x
f_x_2_m = f_2 *x

mean_x = Integral(f_x_1_m, (x, (0, 1))).doit() + Integral(f_x_2_m, (x, (1, 2))).doit()
print("평균 : {}".format(mean_x)) #적분변수 , 아래끝 , 위끝

var_x = Integral(f_x_1_m*x, (x, (0, 1))).doit() + Integral(f_x_2_m*x, (x, (1, 2))).doit() - math.pow(mean_x, 2)

print("분산 : {}".format(var_x)) #적분변수 , 아래끝 , 위끝

평균 : 1
분산 : 0.166666666666667

x_0_6 = round((0.6-(mean_x)) / math.sqrt(var_x),8)
x_0 = round( (0-mean_x) / math.sqrt(var_x) , 4)
print(x_0_6)
print(x_0)
print(scipy.stats.norm.cdf(-0.97979590))

-0.97979590
-2.4495
0.16359343818253824

==> 오차발생 추후 생각해보자

3> P(0.5<=X<=1.5) = (1-0.5) * 0.5 / 2 * 2 + (1 * 0.5) = 0.25 + 0.5 = 0.75

x_0_1_5 = round((1.5-(mean_x)) / math.sqrt(var_x),8)
x_0_5 = round( (0.5-mean_x) / math.sqrt(var_x) , 4)
print(x_0_1_5)
print(x_0_5)
print(scipy.stats.norm.cdf(1.2247) - scipy.stats.norm.cdf(-1.2247) )

1.22474487
-1.2247
0.7793117258581086

P(X <=1.5) - P(X<=0.5) = 0.7793 ==> 오차발생

4> P(1.2<= X<=2) =(2-1.2) * 0.8 / 2 = 0.8 * 0.8 / 2 = 0.32

x_0_2 = round((2-(mean_x)) / math.sqrt(var_x),8)
x_0_1_2 = round( (1.2-mean_x) / math.sqrt(var_x) , 4)
print(x_0_2)
print(x_0_1_2)
print(scipy.stats.norm.cdf(2.4494) - scipy.stats.norm.cdf(0.4899) )

P(1.2<= X<=2) = P(X<=2) - P(X<=1.2) =  0.3049 ==> 오차발생

12. 확률밀도함수에 대한 확률 구하기

a_x= np.arange(0,20,.1) # len(a_x) = 20

a_y = np.full((1,len(a_x)) , 0.02) #1행 20열값을 0.02로 가득채워라
print(a_y)

A = pd.DataFrame([a_x , *a_y])
A= A.T
a_x= np.arange(20,30,.1) # len(a_x) = 20

a_y = np.full((1,len(a_x)) , 0.04) #1행 20열값을 0.02로 가득채워라

B= pd.DataFrame([a_x , *a_y])
B = B.T

a_x= np.arange(30,41,.1) # len(a_x) = 20

a_y = np.full((1,len(a_x)) , 0.02) #1행 20열값을 0.02로 가득채워라

C= pd.DataFrame([a_x , *a_y])
C = C.T

A = pd.concat([A,B,C]).reset_index()
A = A.iloc[ : , 1:]
A

1> P(X>=35) = 0.1

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

# ax = sns.distplot(x = A[0] , y=A[1])
ax= sns.lineplot(x= A[0] , y= A[1])
ax.set_xlim(-1 , 45)
ax.set_ylim(0 , 0.05)
ax.set_xlabel('경기에참여하는 시간' , fontsize = 12)
ax.set_ylabel('확률밀도함수 f(x)' , fontsize= 12 , rotation=0 , labelpad = 20)


ax.fill_between(A[0] , A[1] , 0 , where =  (A[0]>=35))

area = (40-35) * 0.02
ax.text(29 , 0.015 , 'P(X>=35) = {}'.format(area) , fontsize= 13)

2> P(X<=25) = 0.6

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

# ax = sns.distplot(x = A[0] , y=A[1])
ax= sns.lineplot(x= A[0] , y= A[1])
ax.set_xlim(-1 , 45)
ax.set_ylim(0 , 0.05)
ax.set_xlabel('경기에참여하는 시간' , fontsize = 12)
ax.set_ylabel('확률밀도함수 f(x)' , fontsize= 12 , rotation=0 , labelpad = 20)


ax.fill_between(A[0] , A[1] , 0 , where =  (A[0]<=25))

area = (25-20) * 0.04 + (20*0.02)
ax.text(26 , 0.015 , 'P(X<=25) = {}'.format(round(area,2)) , fontsize= 13)

3> P(15<=X<=35) = 0.6

fig = plt.figure(figsize=(15,8))

# ax = sns.distplot(x = A[0] , y=A[1])
ax= sns.lineplot(x= A[0] , y= A[1])
ax.set_xlim(-1 , 45)
ax.set_ylim(0 , 0.05)
ax.set_xlabel('경기에참여하는 시간' , fontsize = 12)
ax.set_ylabel('확률밀도함수 f(x)' , fontsize= 12 , rotation=0 , labelpad = 20)


ax.fill_between(A[0] , A[1] , 0 , where =  (A[0]<=35) & (A[0]>=15))

area = (30-20) * 0.04 + ((35-30)*0.02) + ((20-15) *0.02)
ax.text(8 , 0.015 , 'P(15<=X<=35) = {}'.format(round(area,2)) , fontsize= 13)

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

7. 1.5V 건전지는 1.45V에서 1.65V 사이에서 균등분포를 이룬다.

https://knowallworld.tistory.com/252

1> 임의로 하나 선정 ==> 기대되는 전압(E(X) ) 과 표준편차(루트(V(X)))

X ~ U(1.45, 1.65)

print( (1.45 + 1.65) / 2)

print(np.mean(np.arange(min,max, .01)))

==> x축의 간격들을 평균처리

==> 1.55

print( math.pow(1.65 - 1.45,2) / 12)

print(np.var(np.arange(min,max, .01)))

==> x축의 간격들을 분산처리!!!

==> 0.0033

2>건전지 전압이 1.5V 보다 작을 확률

P(1.45<=X<=1.5) =  0.25

#1.5V 건전지는 1.45V에서 1.65V 사이에서 균등분포를 이룬다.

min , max = 1.45, 1.65

# x_2 = linspace(min-1 , max+1 , 100)

x_2 = np.arange(min-.2 , max+.2 , .01)

print(x_2)

y = scipy.stats.uniform.pdf( x = x_2 , loc = min , scale = max-min)

print(y)

print(len(y[np.where(y != 0.)])) #np.where 활용

==> np.where 조건절로 원하는 값 추출 가능(0. 아닌것들 추출)

[0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 5. 5. 5.
 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
20

fig = plt.figure(figsize=(12, 8))

ax = sns.lineplot(x = x_2 , y= y)

ax.set_title('균등분포(Uniform Distribution)')
ax.set_xlabel('X' , fontsize= 15)
ax.set_ylabel('Y' , fontsize= 15 , rotation = 0 , labelpad = 12)
a = scipy.stats.uniform.pdf( x = 1.5 , loc = 1.45 , scale = 1.65-1.45) #scipy.stats.uniform.pdf( x = 1.5 , loc = min , scale = max-min)
print(a)
ax.vlines(1.5 , ymin = 0 , ymax = a , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.fill_between(x_2 , a , 0 , where = (x_2<= 1.5001) & (x_2>= 1.445)) #오차있으므로 신경 끄자.

area = (1.5 - 1.45)*a #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(1.51 , 3, 'P(1.45=<X<=1.5)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)

==> scipy.stats.uniform.pdf( x = 어디까지 확률을 구할것인가, loc= 균등분포에서 제일 작은값 , scale = 균등분포 제일 끝값끼리의 차) 

==> 중간에 빈칸들은 np.arange()값을 세분화 시키면 사라진다.

x_2 = np.arange(min-.2 , max+.2 , .001)
y = scipy.stats.uniform.pdf(x = x_2 , loc = 1.45 , scale = 1.65-1.45)
print(y)



fig = plt.figure(figsize=(12, 8))

ax = sns.lineplot(x = x_2 , y= y)

ax.set_title('균등분포(Uniform Distribution)')
ax.set_xlabel('X' , fontsize= 15)
ax.set_ylabel('Y' , fontsize= 15 , rotation = 0 , labelpad = 12)
a = scipy.stats.uniform.pdf( x = 1.5 , loc = 1.45 , scale = 1.65-1.45) #scipy.stats.uniform.pdf( x = 1.5 , loc = min , scale = max-min)
print(a)
ax.vlines(1.5 , ymin = 0 , ymax = a , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.fill_between(x_2 , a , 0 , where = (x_2<= 1.5) & (x_2>= 1.45)) #오차있으므로 신경 끄자.

area = (1.5 - 1.45)*a #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(1.51 , 3, 'P(1.45=<X<=1.5)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)

3>10개의 건전지가 들어있는 상자 안에 1.5V보다 전압이 낮은 건전지의 수의 평균과 분산 ==> 베르누이 시행

https://knowallworld.tistory.com/241

1.5V 보다 작을 확률 = 0.25

X ~ B(10 , 0.25)

E(X) = 10* 0.25 = 2.5

V(X) = 2.5 * 0.75 = 1.875

4> 1.5V 보다 낮은 전압을 가진 건전지가 4개 이상 들어있을 확률 ==> 이항분포 , 이항정리 잘 기억!

https://knowallworld.tistory.com/256

P(Y>=4) = 1- P(Y<3) = 

f(x=3) = 10C4 * (0.25**3) * (0.75**7)

res = 0
for i in range(4):
    a = len(list(itertools.combinations(np.arange(10) , i)))
    print(a)
    b = math.pow(0.25 , i) * (math.pow(0.75 , 10-i))

    c = a*b
    print(c)
    res+=c
print(1- res)

0.22412490844726562

8. 버스는 오후 1시부터 5시까지 40분 간격, 버스 기다리는 시간은 0에서 40분까지 균등하게 분포를 이룬다.

1> 버스를 기다리는 시간에 대한 확률 밀도함수

f(x) = 0.025 (0<x<40)

  0 (otherwise)

2>기다리는 시간의 평균과 표준편차

means = np.mean(x[np.where((x>= 0) & (x<=40))])
#np.where 사용시 ndarray로 한번더 묶어줘야한다.
print(means)
vars = np.var(x[np.where((x>= 0) & (x<=40))])

==> np.where 사용시 ==> array의 변수로 리스트화 하여 묶어줘야한다!!!

E(X) =  20

V(X) = 133.3325

print("what?! {}".format(np.std(np.arange(0,40,.1))))
print("what?! {}".format(np.var(np.arange(0,40,.1))))

==> 1단위일때 1/10 단위로 np.arange()처리하면 오차를 줄일 수 있다!!!

표준편차 = 루트(140) = 11.547

3> 15분 이상 기다릴 확률

fig = plt.figure(figsize= (15,8))

ax = sns.lineplot(x= x , y= y)

ax.hlines(y= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , xmin = 0-2 , xmax  =45)

ax.vlines(x= 15 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')

ax.fill_between(x , y , 0 , where = (x<= 40) & (x>= 15)) #오차있으므로 신경 끄자.
ax.text(-8 , scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , "y = {}".format(round(scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min),7)), fontsize =  14)

#area = P(X>=15) = 1 - P(X<=15) ===> 균등분포는 연속확률분포다!!! 이산확률분포로 생각하면 안된다!!
area = 1 - (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *15)


ax.text(5 ,0.020 , "P(X>=15) = {}".format(round(area,3)), fontsize =  14)

==> 균등분포는 연속확률분포이다!!!! P(X>=15) = 1-P(X<15) 이다!!!

P(X>=15) = 0.625

4> 기다리는 시간이 5분에서 10분 사이일 확률

fig = plt.figure(figsize= (15,8))

ax = sns.lineplot(x= x , y= y)

ax.hlines(y= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , xmin = 0-2 , xmax  =45)

ax.vlines(x= 10 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')
ax.vlines(x= 5 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')

ax.fill_between(x , y , 0 , where = (x<= 10) & (x>= 5)) #오차있으므로 신경 끄자.
ax.text(-8 , scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , "y = {}".format(round(scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min),7)), fontsize =  14)

#area = P(5<=X<=10) = P(X<=10) - (X<=4)
area = (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *10) - (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *5)


ax.text(15 ,0.020 , "P(5<=X<=10) = {}".format(round(area,3)), fontsize =  14)

==> 균등분포는 연속확률분포이다!!!! P(5<=X<=10) = P(X<=10) - P(X<5) 이다!!!

P(5<=X<=10) = P(X<=10) - P(X<=5) = 0.125

9. 연간 1인당 지출하는 보험료는 최소 25만원부터 최대 300만원 사이의 균등분포

1> 보험료로 지출하는 평균 금액과 표준편차를 구하라.

min , max = 25 , 300

x = np.arange(min - 25 , max + 25 , 1)

y = scipy.stats.uniform.pdf(x=x , loc= min , scale = max-min)

print(y)

print("평균 지출금액 : {}".format(np.mean( x[np.where( (x>=25) & (x<=300))])))
print("표준편차 지출금액 : {}".format(round(np.std(np.arange(min,max,.1)),3)))

평균 지출금액 : 162.5
표준편차 지출금액 : 79.386

2> 무작위로 한 사람 선정, 이사람이 연간 150만원 이상 지출할 확률

P(X>=150) = 1- P(X<150) = 0.545

fig = plt.figure(figsize= (15,8))

ax = sns.lineplot(x= x , y= y)

ax.hlines(y= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , xmin = min-10 , xmax  =310)
#
ax.vlines(x= 150 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')
# ax.vlines(x= 5 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')
#
ax.fill_between(x , y , 0 , where = (x>= 150)) #오차있으므로 신경 끄자.
ax.text(0-15 , 0.0034 , "y = {}".format(round(scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min),7)), fontsize =  14)
#
#area = 1- P(25<=X<150)
area = 1- (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *(150-25))
#
#
ax.text(95 ,0.0034 , "P(X>=150) = {}".format(round(area,3)), fontsize =  14)

==> x축의 시작이 25부터 인점 주목하자!!!!!

3> 무작위로 한 사람 선정, 이사람이 연간 50만원 이상 , 150만원 이하로 지출할 확률

P(50<=X<=150) = P(X<=150) - P(X<=50) = 0.3636

fig = plt.figure(figsize= (15,8))

ax = sns.lineplot(x= x , y= y)

ax.hlines(y= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , xmin = min-10 , xmax  =310)
#
ax.vlines(x= 150 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')
ax.vlines(x= 50 , ymin = 0 ,ymax= scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) , color ='black')
#
ax.fill_between(x , y , 0 , where = (x<= 150) & (x>=50)) #오차있으므로 신경 끄자.
ax.text(0-15 , 0.0034 , "y = {}".format(round(scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min),7)), fontsize =  14)
#
#area = P(X<=150) - P(X<=50)
area = (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *(150-25)) - (scipy.stats.uniform.pdf(x=30 , loc= min , scale = max-min) *(50-25))
#
#
ax.text(155 ,0.0034 , "P(50<=X<=150) = {}".format(round(area,4)), fontsize =  14)

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

기초통계의 늪에 빠졌다.

이번주 T-분포, 카이제곱분포 , F-분포에 대해 알아보았다.

농협은행 시험이 2주 남았다.

이번주부터 SQL 4문제씩 매일, 알고리즘 2문제씩 풀어야한다. 필기도 풀어야한다! 미쳤다!!!

기초통계는 주말(24일)에 Chapter 07까진 했음 좋겠다.

https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/132203

SELECT DR_NAME, DR_ID,MCDP_CD , TO_CHAR(HIRE_YMD , 'YYYY-MM-DD') AS HIRE_YMD FROM DOCTOR
WHERE MCDP_CD IN ('CS' , 'GS')
ORDER BY HIRE_YMD DESC , DR_NAME ASC

==> IN 

==> TO_CHAR 형식 기억하자!

1. 표준정규확률변수 Z에 대한 확률 구하기(CDF!!!)

1> P(Z>=2.05)

a = 1- scipy.stats.norm.cdf(2.05)
a

0.02018

2> P(Z<1.11)

a = scipy.stats.norm.cdf(1.11)
print(a)

0.8665

3> P(Z>-1.27)

a = 1 - scipy.stats.norm.cdf(-1.27)
print(a)

0.8979

4> P(-1.02<=Z<=1.02)

a = ( scipy.stats.norm.cdf(1.02) - scipy.stats.norm.cdf(0) ) *2
print(a)

0.6922

2.. X~ N(5,4)

https://knowallworld.tistory.com/254

1> P(X>=4.5)

a = 1 -scipy.stats.norm.cdf(-0.25)
print(a)

==> P(Z>= (4.5 -5) / (루트(4) ) = P(Z>= -0.25) = 0.5987

2> P(X<6.5)

a = scipy.stats.norm.cdf(0.75)
print(a)

==> P(Z < 6.5-5 / (루트(4)) = P(Z < 0.75) = 0.7733

3>P(X<=2.5)

a = scipy.stats.norm.cdf(-1.25)
print(a)

==> P(Z < 2.5-5 / (루트(4)) = P(Z < -1.25) = 0.1056

4>P(3<=X<=7)

a = (scipy.stats.norm.cdf(1) - scipy.stats.norm.cdf(0)) * 2
print(a)

P( (3-5)/루트(4) <= Z <= (7-5)/루트(4) ) = P(-1 <= Z<= 1) = 0.6826

3.. V~ x**2(10) ==> 카이제곱 분포(자유도)

https://knowallworld.tistory.com/258

1> 97.5% 백분위수 x**2_0.025

X = np.arange(0,30 ,.01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = 10
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.chi2(dof).pdf(X))

X_l = scipy.stats.chi2(dof).ppf(0.025) #==> 1.644

X_r = scipy.stats.chi2(dof).ppf(1- 0.025)

ax.fill_between(X , scipy.stats.chi2(dof).pdf(X) , 0 , where = (X<=X_l) | (X>=X_r))
area = scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_l) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(4 , .015, 'P(X <' + r'$\chi^2_{0.025}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(2, .002), xytext=(4 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_l, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_l) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_l + 1, .002,  r'$\chi^2_L= {}$'.format(round(X_l,2)) ,fontsize=15)





area = 1- scipy.stats.chi2(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(24 , .015, 'P(X >' + r'$\chi^2_{0.025}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(22, .002), xytext=(24 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r - 4, .002,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)

==> CDF는 넓이 구하기!

==> PPF를 통하여 Z값(원하는 분포값) 얻을 수 있다.

2> P(V > x_0) = 0.995를 만족

P(V<= x_0) = 0.005 (넓이)

==> ppf를 통하여 P(V < X**2_0.005) = P(V< 2.1558) = 0.005

==> 넓이는 cdf로 , ppf로 x_0값 투입 시켜 Z값, V값등을 얻어내자!

x_0 = 2.16

4. T~ t(10) ==> t 분포(자유도)

https://knowallworld.tistory.com/259

1> 95%백분위수 t_0.05

X = np.arange(-5,5 ,.01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = 10
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.t(dof).pdf(X))

X_l = scipy.stats.t(dof).ppf(0.05) #==> 1.644

X_r = scipy.stats.t(dof).ppf(1- 0.05)

ax.fill_between(X , scipy.stats.t(dof).pdf(X) , 0 , where = (X<=X_l) | (X>=X_r))
area = scipy.stats.t(dof).cdf(X_l) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(-4, .05, 'P(V <' + r'$\chi_{0}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-2.6, .004), xytext=(-3, .03)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_l, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.t(dof).pdf(X_l) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_l + 0.4, .004,  r'$\chi^2_L= {}$'.format(round(X_l,2)) ,fontsize=15)





area = 1- scipy.stats.t(dof).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(4 , .02, 'P(V >' + r'$\chi_{0}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(3.5, .002), xytext=(4 , .014)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.t(dof).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r-1 , .002,  r'$\chi^2_R= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)

X_R =  1.81

2> P(T<=t_0) = 0.995

X = np.arange(-5,5 ,.01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = 10
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.t(dof).pdf(X))

X_l = scipy.stats.t(dof).ppf(.995) #==> 1.644

# X_r = scipy.stats.t(dof).ppf(1- 0.05)

ax.fill_between(X , scipy.stats.t(dof).pdf(X) , 0 , where = (X<=X_l))
area = scipy.stats.t(dof).cdf(X_l) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(-4, .05, 'P(T <' + r'$\chi_{0}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(-2.6, .004), xytext=(-3, .03)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_l, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.t(dof).pdf(X_l) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_l + 0.4, .004,  r'$\chi^2_L= {}$'.format(round(X_l,2)) ,fontsize=15)

t_0 = 3.17

5. F~ F(8 , 6) ==> F 분포(자유도 1 , 자유도 2)

https://knowallworld.tistory.com/260

1> f_0.01 , 8 , 6

X = np.arange(0,10 ,.01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [8,6]
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X))

X_r = scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).ppf(1- 0.01) #==> 1.644


ax.fill_between(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X) , 0 , where =  (X>=X_r))
area = scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(7, .12, 'P(F <' + r'$f_{0.01 , 8 , 6}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(8.1, .005), xytext=(7.1, .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r + 0.4, .004,  r'$f_{0.01, 8 , 6}' + '= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)


b = ['F(8,6)']
plt.legend(b , fontsize= 13)

f_0.01,8,6 = 8.1

2>f_0.05,8,6

X = np.arange(0,10 ,.001)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [8,6]
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X))

X_r = scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).ppf(1-0.05) #==> 상위 1%일때 x좌표


ax.fill_between(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X) , 0 , where =  (X>=X_r))
area = 1- scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(7, .12, 'P(F >' + r'$f_{0.05 , 8 , 6}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(8.1, .005), xytext=(7.1, .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r - 1.4, .004,  r'$f_{0.05, 8 , 6}' + '= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)


b = ['F(8,6)']
plt.legend(b , fontsize= 13)

f_0.05,8,6 = 4.15

3>f_0.90,8,6

X = np.arange(0,10 ,.001)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [8,6]
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X))

X_r = scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).ppf(1-0.9) #==> 상위 1%일때 x좌표


ax.fill_between(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X) , 0 , where =  (X>=X_r))
area = 1- scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(7, .12, 'P(F >' + r'$f_{0.9 , 8 , 6}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(8.1, .005), xytext=(7.1, .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r + 0.04, .05,  r'$f_{0.9, 8 , 6}' + '= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)


b = ['F(8,6)']
plt.legend(b , fontsize= 13)

f_0.90,8,6 = 0.37

4>f_0.99,8,6

X = np.arange(0,10 ,.001)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [8,6]
ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X))

X_r = scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).ppf(1-0.99) #==> 상위 1%일때 x좌표


ax.fill_between(X , scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X) , 0 , where =  (X>=X_r))
area = 1- scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).cdf(X_r) #넓이 구하기!!!!!
print(area)
ax.text(7, .12, 'P(F >' + r'$f_{0.99 , 8 , 6}$)' + f"= {round(area,4)}",fontsize=15)
plt.annotate('' , xy=(8.1, .005), xytext=(7.1, .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.vlines(x= X_r, ymin= 0 , ymax= scipy.stats.f(dof[0] , dof[1]).pdf(X_r) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.text(X_r + .2, .05,  r'$f_{0.99, 8 , 6}' + '= {}$'.format(round(X_r,2)) ,fontsize=15)


b = ['F(8,6)']
plt.legend(b , fontsize= 13)

f_0.99,8,6 = 0.16

==> 답지가 틀렸다 100%

6. X~ U(-2 , 2) ==> 균등분포

https://knowallworld.tistory.com/252

1> X의 확률밀도함수

-2<=X<=2 ==> 1/4

otherwise ==> 0

2> X의 평균과 분산

3>

확률 평균-표준편차 이상 평균+표준편차 이하

x = Symbol('x')

f_x = 1/4
f_x_m = f_x * x
print(f_x_m)
mean_1 = Integral(f_x_m, (x,(-2 , 2))).doit()

print("평균 : {}".format(mean_1))
f_x_v = f_x_m * x
print(f_x_v)
vars_1 = Integral(f_x_v , (x,-2,2)).doit() - mean_1**2
print("분산 : {}".format(vars_1))

ratio = Integral(f_x , (x,mean_1-math.sqrt(vars_1),mean_1+math.sqrt(vars_1))).doit()
print("확률 평균-표준편차 이상 평균+표준편차 이하는 {}이다.".format(ratio))

0.25*x
평균 : 0
0.25*x**2
분산 : 1.33333333333333
확률 평균-표준편차 이상 평균+표준편차 이하는 0.577350269189626이다.

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용

1. F-분포(F-distribution)

==> 서로 독립인 두 모집단의 모분산이 동일한지 아닌지를 통계적으로 추론

==> 서로 독립인 두 확률변수

 F ~ F(m , n)

X = np.arange(0,10, .01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [[5,8] , [2,3] , [23,23] , [18,25], [11,7]]
print(dof[0][0])
for i in dof:
    ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(i[0] , i[1]).pdf(X))
b = ['F({},{})'.format(i,j) for i,j in dof]
plt.legend(b , fontsize= 15)

==> scipy.stats.f(자유도 1, 자유도 2) 

==> 일반적으로 왼쪽으로 치우치고, 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖는다.(양의 왜도)

EX-01) 자유도 7과 10인 F-분포에서 중심확률이 0.9인 두 임계점 f_L , f_R를 구하라

꼬리확률 = 0.1

f_0.95,7,10

f_0.05,7,10

X = np.arange(0,10, .01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [[7,10]]
print(dof[0][0])
for i in dof:
    ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(i[0] , i[1]).pdf(X))
b = ['F({},{})'.format(i,j) for i,j in dof]


X_r = scipy.stats.f(dof[0][0], dof[0][1]).ppf(0.95)

X_l = scipy.stats.f(dof[0][0], dof[0][1]).ppf(0.05)

ax.fill_between(X, scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X) , where = (X>=X_r) | (X<=X_l) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔


ax.vlines(X_r , ymin = 0 , ymax = scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X_r) , color = 'black')
ax.vlines(X_l , ymin = 0 , ymax = scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X_l) , color = 'black')


ax.annotate('' , xy=(X_l -0.02 , 0.1) , xytext=(X_l + 0.5 , 0.1) , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(X_l + 0.5 , 0.1 , r'$P(F\leqq f_{0.95,7,10})$' + f'= {0.05}' , fontsize = 14)

ax.annotate('' , xy=(X_r +0.3 , 0.01) , xytext=(X_r + 0.3 , 0.2) , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(X_r + 0.3 , 0.21 , r'$P(F\geqq f_{0.05,7,10})$' + f'= {0.05}' , fontsize = 14)

ax.text(X_l + 0.05 , 0.01 , r'$f_{0.95,7,10}$)' + f'= {round(scipy.stats.f(dof[0][0] , dof[0][1]).ppf(0.05) ,2)}' ,fontsize = 13)
ax.text(X_r - 1.3 , 0.01 , r'$f_{0.05,7,10}$)' + f'= {round(scipy.stats.f(dof[0][0] , dof[0][1]).ppf(0.95) , 2)}' ,fontsize = 13)


plt.legend(b , fontsize= 15)

==> 수학 표현식 geqq , leqq

==> ppf 사용!

f_L = 0.27

f_R = 3.14

EX-02) F ~ F(4,5)

X = np.arange(0,10, .01)

fig = plt.figure(figsize = (15,8))
dof = [[4,5]]
print(dof[0][0])
for i in dof:
    ax = sns.lineplot(X , scipy.stats.f(i[0] , i[1]).pdf(X))
b = ['F({},{})'.format(i,j) for i,j in dof]


X_l = scipy.stats.f(dof[0][0], dof[0][1]).ppf(1-0.95)

X_r = scipy.stats.f(dof[0][0], dof[0][1]).ppf(1-0.025)

ax.fill_between(X, scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X) , where = (X>=X_r) | (X<=X_l) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x조건 인곳 , 색깔


ax.vlines(X_r , ymin = 0 , ymax = scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X_r) , color = 'black')
ax.vlines(X_l , ymin = 0 , ymax = scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).pdf(X_l) , color = 'black')

area = 1- scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).cdf(X_r)
area_2 = scipy.stats.f(dof[0][0],dof[0][1]).cdf(X_l)



ax.annotate('' , xy=(X_r +2 , 0.01) , xytext=(X_r + 2 , 0.2) , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(X_l + 0.1 , 0.21 , r'$P(F\leqq f_{0.95,4,5})$' + f'= {round(area_2,2)}' , fontsize = 14)

ax.annotate('' , xy=(X_l +0.05 , 0.2) , xytext=(X_l + 0.3 , 0.2) , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(X_r + 0.3 , 0.21 , r'$P(F\geqq f_{0.025,4,5})$' + f'= {round(area , 2)}' , fontsize = 14)

ax.text(X_r + 0.05 , 0.01 , r'$f_{0.025,4,5}$' + f'= {round(scipy.stats.f(dof[0][0] , dof[0][1]).ppf(1-0.025) ,2)}' ,fontsize = 13)
ax.text(X_l +0.1 , 0.01 , r'$f_{0.95,4,5}$' + f'= {round(scipy.stats.f(dof[0][0] , dof[0][1]).ppf(1-0.95) , 2)}' ,fontsize = 13)


plt.legend(b , fontsize= 15)

==>헷갈린다.

==> F분포의 경우 왼쪽 꼬리확률이 0.05인 임계점 f_0.95,4,5

==> 오른쪽 꼬리확률이 0.05인 임계점 f_0.05,4,5

1> f_0.025 , 4 , 5 

==> 7.39

2> f_0.95,4,5

==> 0.16

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용