★연속성 수정 근사확률★추측통계의 X+Y의 평균과 분산★정규분포★기초통계학-[Chapter06 - 연습문제-13]

19. 집에서 학교까지 평균 10분 , 표준편차 1.5분인 정규분포 ==> N (10 , 1.5**2)

 

1>집에서 학교까지 가는데 12분이상 걸릴 확률

 

P(X>=12) = P(Z>= (12 -10) / 1.5) =  1 - P(Z<=(12-10)/1.5)

b = scipy.stats.norm.cdf( (12-10) / 1.5)
b

b = scipy.stats.norm.cdf( (12-10) / 1.5)
print(1-b)

P(X>=12) = 0.091

 

2>집에서 학교까지 가는데 9분안에 도착할 확률

 

P(0<=X<=9) = P((0-10) / 1.5 <=Z<= (9 -10) / 1.5) = P(Z<= (9 -10) / 1.5)) - P(Z<=(0-10) / 1.5) = 

b = scipy.stats.norm.cdf( -1 / 1.5)
print(b)

P(X<=9) = 0.2524

 

3>집에서 학교까지 가는데 7분이상 11분 안에 도착할 확률

 

P(7<=X<=11) = P((7-10) / 1.5 <=Z<= (11 -10) / 1.5) )  = P(Z<= (11 -10) / 1.5)) - P(Z<=(7-10) / 1.5) = 0.7247

 

b = scipy.stats.norm.cdf( 1 / 1.5) - scipy.stats.norm.cdf( (7-10) / 1.5)
print(b)

20. 성적이  X ~ N(70,16)인 정규분포, A,B,C,D,F를 15% , 30% , 30% , 15% , 10% 비율로 준다. A,B,C,D의 하한점수

 

A등급 : P(X>=x_A) = 1- P(X<=x_A) =  0.15 

 

P(Z<= (x_A - 70) /4) = 0.85

b = scipy.stats.norm.ppf(0.85)
print(b)

x_A = 4* 1.036 + 70

 =  74.144

b = 1-  scipy.stats.norm.cdf(0.15)
print(b)

B등급 : P(X>=x_B) = 1 -P(X<=x_B) = 0.45

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.55

 

b = scipy.stats.norm.ppf(0.55)
print(b)

 

x_B = 4* (0.1256) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (0.1256) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_B 70.5024

 

 

 

C등급 : P(X>=x_C) = 1 -P(X<=x_C) = 0.75

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.25

b = scipy.stats.norm.ppf(0.25)
print(b)

x_B = 4*(-0.6744) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (-0.6744) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_C = 67.3024

 

D등급 : P(X>=x_D) = 1 -P(X<=x_D) = 0.9

 

P(Z<= (x_B - 70) /4) = 0.1

 

b = scipy.stats.norm.ppf(0.1)
print(b)

x_D = 4* (-1.28155) + 70

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -70) - (-1.28155) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_D = 64.873

 

 

21. 고교 3학년 학생 1000명에게 실시한 모의고사에서 국어 X와 수학 Y는 각각 X ~ N(75 ,9) , Y ~ N(68,16) 인 정규분포를 따르고 , 두 성적은 독립

 

1> 국어점수 X가 82점 이상일 확률 

b = 1- scipy.stats.norm.cdf(7/3)
print(b)

P(X>=82) = P (Z>=  (82-75) / 3) = 1 - P(Z<=(7/3)) = 0.0098

 

2> 두과목의 점수의 합이 130점이상 , 150점 이하에 해당하는 학생수

 

X+Y ~ N (75+68 , 9+16) = N(143 , 25)

 

X-Y ~ N(75-68 , 9 +16)

https://knowallworld.tistory.com/255

★정규분포의 표준정규분포로의 변환★추측통계학-[Chapter06 - 연속확률분포-04]

 

==> 추측통계 기법 기억하자!!

 

P(130<= X+Y <=150) = P( (130-143) / 5 <= Z <=  (150-143) /5 ) = P(-13/5 <=Z<= 7/5) = P(Z<= 7/5) - P(Z<= -13/5) = 0.9145

b = scipy.stats.norm.cdf(7/5) - scipy.stats.norm.cdf(-13/5)
print(b)

1000* 0.9145 = 914.5명

 

 

3> 각 과목에서 상위 5%안에 들기 위한 최소점수

 

P(X>=x_a) = 0.05

 

P(Z>=  (x_a - 75) / 3) = 1- P( Z<= (x_a - 75) / 3) = 0.05

 

 P( Z<= (x_a - 75) / 3) = 0.95

b = scipy.stats.norm.ppf(0.95)
print(b)

x_a = 3* 1.644 + 75

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -75) - (1.644) *3
b = sympy.solve( equation)
print(b)

x_a = 79.932

=================

P(Y>=y_a) = 0.05

 

P(Z>=  (y_a - 68) / 4) = 1- P( Z<= (y_a - 68) / 4) = 0.05

 

 P( Z<= (y_a - 68) / 4) = 0.95

b = scipy.stats.norm.ppf(0.95)
print(b)

y_a = 4* 1.644 + 68

x = sympy.Symbol('x')

equation = (x -68) - (1.644) *4
b = sympy.solve( equation)
print(b)

y_a = 74.576

 

 

22. X ~ B(20, 0.4)에 대하여 연속성을 수정한 근사확률 구하기. ==> 베르누이 시행

==>연속성 수정 +- 0.5

https://knowallworld.tistory.com/257

이항분포, 푸아송분포,정규분포 기억하기★cdf, pdf 사용법!★정규근사★파스칼★이항분포의 정

==> 연속성 수정 참고!

==> P(a<=X <= b) = P(a-0.5 <= X <= b +0.5)

X ~ N(20*0.4 , 20*0.4*0.6) = N(8 , 4.8)

 

1> P(X<= 10+0.5) = P(Z<= (10+0.5-8)/ 루트(4.8)) =  0.873

b = scipy.stats.norm.cdf((10-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

 

2> P(7<=X<= 11)

 

b = scipy.stats.norm.cdf((11-8+0.5)/math.sqrt(4.8)) - scipy.stats.norm.cdf((6-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

= P(6.5 <= X <= 11.5) = P(Z<= (11.5 -8)/루트(4.8)) - P(Z<= (6.5 - 8)/루트(4.8)) = 0.6981

 

3> P(X>= 15)

b = 1- scipy.stats.norm.cdf((14-8+0.5)/math.sqrt(4.8))
print(b)

= 1 - P(X<=14.5) = 1 - P(Z<= (14.5-8)/루트(4.8) ) = 0.0015

 

23.5지선다 문제 ==> 100문항

X ~ B(100 , 1/5)

==> X ~ N (20 , 16)

1> 선택한 평균 정답 수 

 

20

 

2> 정답을 정확히 15개 선택할 근사확률

b = scipy.stats.norm.cdf((15-20+0.5)/4)-scipy.stats.norm.cdf((14-20+0.5)/4)
print(b)

P(X=15) = P(14.5 <= X<= 15.5) = P(X<=15.5) - P(X<=14.5) = P(Z <=(15.5 -20 / 4) ) -  P(Z <=(14.5 -20 / 4) ) = 0.0457

 

 

3>25개 이하로 정답을 선택할 근사확률

b = scipy.stats.norm.cdf((5+0.5)/4)
print(b)

P(X<=25) = P(X<=25.5) = P(Z<=  (25.5 -20) / 4 ) = 0.9154

 

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용