★p-value값★검정통계량의 관찰값★모평균 차의 검정★기초통계학-[통계적 가설검정 -06]

1. 모평균 차의 검정

 

https://knowallworld.tistory.com/330

★모평균의 차에 대한 신뢰구간★모비율에 대한 표본크기 구하기★표본의 크기★기초통계학-[

==> 모평균의 차에 대한 신뢰구간

모평균의 차에대한 신뢰구간

 

https://knowallworld.tistory.com/307

★두 표본평균의 차에 대한 표본분포(모분산 알때 , 동일할때)★중심극한정리 활용★이표본의

표본평균간의 차에 대한 정규분포

 

 EX-01) 대학에서 승용차를 갖고 있지 않은 학생과 갖고 있는 학생의 학업 성취도를 비교하기 위하여 각각 150명과 100명을 임의로 선정하여 학점을 비교하였다. 승용차를 갖고 있지 않은 학생의 평점은 3.45이고 갖고 있는 학생의 평점은 3.33이었다. 두 그룹의 평점에 차이가 없다는 주장을 유의수준 5%에서 검정하라.(두 그룹의 평점은 각각 표준편차가 0.36 , 0.4인 정규분포를 따른다.)

 

 

|X--|Y ~ N(3.45 - 3.33 , 0.36**2/150 + 0.4**2/100) ==> 양측검정 마이너스일수도 플러스일수도 있으므로

 

귀무가설 : 두 그룹의 평점에 차이가 없다. ==> m_1 = m_2

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# trust = 95 #신뢰도
MEANS_A = 3.45
MEANS_B = 3.33
MEANS = MEANS_A-MEANS_B
std_a = 0.36
std_b = 0.4
n_a = 150
n_b = 100
STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)


ax.set_title('양측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 95 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=t_1) & (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1) - scipy.stats.norm.cdf(-t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-t_1}<=Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area)/2 ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len-0.02), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len-0.02), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .2 , f'표준오차 :' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' + f'= {round(STDS,3)}' , fontsize = 15)

ax.text(-5.5 , .15,  r'오차한계 = ${%.3f}\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}} = $' % t_1 + f'{round(t_1 * STDS , 3)}',fontsize=15)


ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round(MEANS/STDS)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) | (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(-z_1) + 1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P(Z<={-z_1}) + P(Z>={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

양측검정에 따른 귀무가설 검정

귀무가설 : 두 그룹의 평점에 차이가 없다. ==> m_1 = m_2

 

P-VALUE = 0.0455

alpha = 0.025 * 2 = 0.5

 

P-VALUE <alpha ==> 0.0455 < 0.5 ==> 귀무가설 기각 

 

 EX-02) 마이크로 오븐 A와 B중 하나를 사려고 한다. 이때 모델 A의 수리비가 모델 B보다 저렴하다면 모델 A를 선택하고자 한다. 모델 A와 모델 B를 각각 47개 , 55개를 선정하여 비교한 결과 , 평균 수리비가 각각 7.5만 원과 8.0만원이고, 표준편차가 1.25만원과 2.0만원이었다. 모델 A를 사야 하는지에 대한 유의수준 1%에서 검정하라.

 

 

귀무가설 : 모델A의 수리비가 모델 B보다 저렴하다면 모델 A를 선택 ==> m_A < m_B ==> 하단측 검정

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# trust = 95 #신뢰도

MEANS_A = 7.5
MEANS_B = 8
MEANS = round(MEANS_A-MEANS_B ,3)
std_a = 1.25
std_b = 2
n_a = 47
n_b = 55
STDS = round(math.sqrt( (std_a**2/n_a) + (std_b**2/n_b)),4)



ax.set_title('하단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 99 #신뢰도_유의수준
trust = trust - (100-trust)
t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(t_1)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z>={-t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
# ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

# ax.text(1 + t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
area = 1-area
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역'+f'\n' +r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


# plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len-0.02), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

trust = 99
ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .2 , f'표준오차 :' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' + f'= {round(STDS,3)}' , fontsize = 15)

ax.text(-5.5 , .15,  r'오차한계 = ${%.3f}\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}} = $' % t_1 + f'{round(t_1 * STDS , 3)}',fontsize=15)


ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)


#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================


z_1 = round(MEANS/ STDS ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
# plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=( -z_1 ,  annotate_len), xytext=(z_1-0.05, annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-.09 , annotate_len+0.01 , f'P(Z<={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)
# ax.text(0 , annotate_len+0.01 ,f'P(Z>={-z_1})',fontsize=15)



#
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' +f'{MEANS}\n'+ r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{STDS,3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

MEANS_A = 8.0
MEANS_B = 7.5
MEANS = MEANS_A-MEANS_B
std_a = 2
std_b = 1
n_a = 55
n_b = 47
STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)

하단측검정에 따른 귀무가설 검정

 

 

 

P-VALUE = 0.0618

alpha = 0.01

 

귀무가설 = m_A - m_B >= 0 ==> 등호가 있어야한다.

 

P-VALUE > alpha ==> 0.0618 > 0.01 ==> 대립가설(모델 A의 수리비가 모델 B보다 저렴하여 구매해야한다.) 채택

 

 

 

 

 EX-03) 의사협회에서 남자 40명과 여자 35명을 조사한 바에 따르면 입원 일수가 다음과 같다. 이 자료가 남자의 입원 일수가 여자의 입원 일수보다 더 길다는 증거가 되는지 유의수준 10%에서 조사하라(남자의 표준편차 7.5 , 여자의 표준편차 6.8)

 

 

귀무가설(남자의 입원 일수가 여자의 입원 일수보다 더 길지 않다) ==>  u_1 < u_2 ==> u_1 - u_2 < 0 상단측 검정

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# trust = 95 #신뢰도
A = "4 4 12 18 9 6 12 10 3 6 15 7 3 55 1 2 10 13 5 7 1 23 9 2 1 17 2 24 11 14 6 2 1 8 1 3 19 3 1 13"
B = "14 7 15 1 12 1 3 7 21 4 1 5 4 4 3 5 18 12 5 1 7 7 2 15 4 9 10 7 3 6 5 9 6 2 14"

A = list(map(int, A.split(' ')))
B= list(map(int, B.split(' ')))


MEANS_A = np.mean(A)
MEANS_B = np.mean(B)
MEANS = round(MEANS_A-MEANS_B ,3)
print(MEANS) #MEANS가 양수이므로 항상 남자가 여자보다 크다. 따라서 상단측검정을 시행한다.
std_a = 7.5
std_b = 6.8
n_a = len(A)
n_b = len(B)
# print(n_a)
# print(n_b)
STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
# print(STDS)
#
# print(MEANS/STDS)


ax.set_title('상단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 90 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area) ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
# ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)
#
# ax.text(-5.5 , .2 , f'표준오차 :' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' + f'= {round(STDS,3)}' , fontsize = 15)
#
# ax.text(-5.5 , .15,  r'오차한계 = ${%.3f}\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}} = $' % t_1 + f'{round(t_1 * STDS , 3)}',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .25, f'귀무가설 : 남자(u_1)의 입원일수가 여자(u_2)의 입원일수 보다 작다.\n u_1 < u_2'  , fontsize = 15)
ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round(MEANS/STDS)
# z_1 =(9.075 - 7.114) / 1.6035
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1)  , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n   P(Z>={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')
#
# print( (9.075 - 7.114) / 1.6035)

상단측 검정

 

P-VALUE = 0.1587

alpha = 0.1

 

P-VALUE > alpha ==> 0.1587 > 0.1 ==> 귀무가설(남자의 입원 일수가 여자의 입원 일수보다 더 길지 않다) 채택