★p-value값★검정통계량의 관찰값★모평균에 대한 하단측 검정★기초통계학-[통계적 가설검정 -04]

1. 모평균에 대한 하단측 검정

 

EX-01) 어느 대학에서 취업을 위해 외국어 강좌를 늘린결과, 졸업생의 토익 평균 점수가 800점 이상이라고 한다. 이것을 검정하기 위해 졸업생 50명을 임의로 선정하여 토익 점수의 평균을 조사한 결과 795점이었다. 토익 점수는 표준편차가 18.5점인 정규분포를 따른다고 한다.

 

 

1> 귀무가설과 대립가설을 설정하라.

 

귀무가설 : 토익 평균 점수가 800점 이상이다. ==> u_0>=800

 

대립가설 : 토익 평균 점수가 800점 미만이다. ==> u_0<800

 

2> 유의수준 5%에서 기각역을 구하라.

 

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# trust = 95 #신뢰도

MEANS = 795-800
STDS = 18.5
n = 50


ax.set_title('하단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 90 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(t_1)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z>={-t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
# ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

# ax.text(1 + t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
area = 1-area
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역'+f'\n' +r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


# plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len-0.02), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len-0.02), xytext=(-1-t_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'- {t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+ {t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)


#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================


z_1 = round(MEANS/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
# plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(- 1.5 -z_1 ,  annotate_len), xytext=(z_1, annotate_len-0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-.09 , annotate_len+0.01 , f'P(Z<={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)
# ax.text(0 , annotate_len+0.01 ,f'P(Z>={-z_1})',fontsize=15)




ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' +f'{MEANS}\n'+ r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

하단측검정에 따른 귀무가설 검정

R = Z < z_0.05 = -1.645

 

3> 검정통계량의 관찰값을 구하라.

 

MEANS = 795 - 800

STDS = 18.5

N = 50

z_1 = round(MEANS/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)

 

4> P-Value 값 구하라.

 

P(Z <= -1.91 ) = 0.0281

 

5> 검정통계량의 관찰값 또는 p-value 값을 이용하여 유의수준 5%에서 귀무가설을 검정하라.

 

p-value = 0.0281

a = 0.05

 

p-value < a ==> 0.0281 < 0.05 ==> 유의수준 5%보다 p-value값이 더 작으므로 귀무가설은 기각이 된다.

 

 

EX-02) 성인이 전자책에 있는 텍스트 한 쪽을 읽는 데 평균 48초 이상 걸린다고 한다. 이것을 검정하기 위해 12명을 임의로 선정하여 시간을 측정하여 자료값을 얻었다. 텍스트 한쪽을 읽는 데 걸리는 시간은 표준편차가 8초인 정규분포를 따른다고 한다.

 

1> 귀무가설과 대립가설을 설정하라.

 

귀무가설 : 성인이 전자책에 잇는 텍스트 한 쪽을 읽는 데 평균 48초 이상 걸린다. ==> m_0 >= 48

대립가설 : 성인이 전자책에 잇는 텍스트 한 쪽을 읽는 데 평균 48초 미만 걸린다. ==> m_0 < 48

 

2> 유의수준 5%에서 기각역을 구하라.

 

Z< z_0.05 = -1.645

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

# trust = 95 #신뢰도

A = "43.2 41.5 48.3 37.7 46.8 42.6 46.7 51.4 47.3 40.1 46.2 44.7"
A = list(map(float , A.split(' ')))

MEANS = np.mean(A)-48
STDS = 8
n = 12


ax.set_title('하단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 90 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(t_1)

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z>={-t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
# ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

# ax.text(1 + t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
area = 1-area
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역'+f'\n' +r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


# plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len-0.02), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len-0.02), xytext=(-1-t_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))


ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'- {t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+ {t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)


#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================


z_1 = round(MEANS/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1)  , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
# plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(- 1.5 -z_1 ,  annotate_len), xytext=(z_1, annotate_len-0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-.09 , annotate_len+0.01 , f'P(Z<={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)
# ax.text(0 , annotate_len+0.01 ,f'P(Z>={-z_1})',fontsize=15)




ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' +f'{MEANS}\n'+ r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

하단측검정에 따른 귀무가설 검정

3> 검정통계량의 관찰값을 구하라.

A = "43.2 41.5 48.3 37.7 46.8 42.6 46.7 51.4 47.3 40.1 46.2 44.7"
A = list(map(float , A.split(' ')))

MEANS = np.mean(A)-48
STDS = 8
n = 12

z_1 = round(MEANS/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)

Z = -1.43

 

4> P-value 값 구하라.

 

p-value = P(Z<=-1.43) = 0.0764

 

 

5> 검정통계량의 관찰값 또는 P-값을 이용하여 유의수준 5%에서 귀무가설을 검정하라.

 

 

p-value = 0.0764

a = 0.05

 

p-value > a ==> 0.0764 > 0.05 ==> 귀무가설 채택