★=이 있는것이 귀무가설★모평균의 양측검정★모평균 <= |X 상단측 검정★모평균 >= |X 하단측검정★기초통계학-[연습문제 01 -09]

1. 모표준편차가 5인 정규모집단에서 크기 36인 표본을 추출했더니 표본평균이 48.5였다. 유의수준 5%에서 두 가설 H_0: m = 50과 H_1 : m != 50을 검정하려고 한다.

 

1> 기각역을 구하라.

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
# MEANS_A = 48.5
# MEANS_B = 50
# MEANS = MEANS_A-MEANS_B
# std_a = 5
# std_b = 5
# n_a = 55
# n_b = 47
# STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
MEANS = 48.5
STDS = 5
n = 36

ax.set_title('양측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 95 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=t_1) & (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1) - scipy.stats.norm.cdf(-t_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red')
plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-t_1}<=Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area)/2 ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)

ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' + f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round((MEANS-50)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=-z_1) | (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(z_1) + 1- scipy.stats.norm.cdf(-z_1)


ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(-z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(1+z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P(Z<={z_1}) + P(Z>={-z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

https://knowallworld.tistory.com/302

★모분산을 모를땐 t-분포!★stats.norm.cdf()★모분산을 알때/모를때 표본평균의 표본분포★일표본

z_1 = round((MEANS-50)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)

양측검정에 따른 기각역

 

 

Z > 1.96 , Z<-1.96

 

2>검정통계량의 관찰값을 구하라.

 

z_0 = -1.8

 

 

3> P-VALUE 값 구하기

 

P-VALUE : 0.0719

 

 

4> 검정통계량의 관찰값을 이용하여 귀무가설의 진위를 결정하라.

 

z_0 = -1.8은 Z<-1.96 , Z>1.96 안에 놓이지 않으므로 유의수준 5%에서 귀무가설 H_0 : m= 50을 채택한다. 즉 모평균이 50이라는 주장은 타당성이 있다.

 

5> p-value 값을 이용하여 귀무가설의 진위를 결정하라.

 

P-VALUE : 0.0719

 

alpha : 0.05

 

P-VALUE > alpha ==> 0.0719 > 0.05 ==> 귀무가설 H_0 : m = 50을 채택한다. 즉 모평균이 50이라는 주장은 타당성이 있다.

 

 

2. 모표준편차가 0.35인 정규모집단에서 크기 45인 표본을 추출했더니 표본평균이 3.2였다. 유의수준 5%에서 두 가설 H_0: m = 3.09 과 H_1 : m !=  3.09 를 검정하려고 한다.

 

1>기각역을 구하라.

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
# MEANS_A = 48.5
# MEANS_B = 50
# MEANS = MEANS_A-MEANS_B
# std_a = 5
# std_b = 5
# n_a = 55
# n_b = 47
# STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
MEANS = 3.2
STDS = 0.35
n = 45

ax.set_title('양측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 95 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=t_1) & (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1) - scipy.stats.norm.cdf(-t_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red')
plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-t_1}<=Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area)/2 ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)

ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' + f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round((MEANS-3.09)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) | (x<=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(-z_1) + 1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P(Z<={-z_1}) + P(Z>={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

양측검정에 따른 기각역

Z > 1.96 , Z<-1.96

 

 

2>검정통계량의 관찰값을 구하라.

 

z_0 = 2.11

 

3> P-VALUE 값 구하기

 

P-VALUE : 0.0349.

 

4> 검정통계량의 관찰값을 이용하여 귀무가설의 진위를 결정하라.

 

z_0 = 2.11은 Z<-1.96 , Z>1.96 안에 놓이므로 유의수준 5%에서 귀무가설 H_0 : m= 3.09를 기각한다. 즉 모평균이 50이라는 주장은 타당성이 없다.

 

5> p-value 값을 이용하여 귀무가설의 진위를 결정하라.

 

P-VALUE : 0.0349

 

alpha : 0.05

 

P-VALUE< alpha ==> 0.0349 < 0.05 ==> 귀무가설 H_0 : m = 3.09를 기각한다. 즉 모평균이 3.09이라는 주장은 타당성이 없다.

 

3. 우리나라 직장인의 연간 평균 독서량이 15.5권 이상이라는 출판협회의 주장을 알아보기 위하여 50명의 직장인을 임의로 선정하여 독서량을 조사한 결과 연간 평균 14.2권 이었다. 그리고 과거 조사한 자료에 따르면 직장인의 연간 평균 독서량은 표준편차가 3.4권인 정규분포를 따르는 것으로 알려져 있다. 이 자료를 근거로 출판협회의 주장에 대하여 유의수준 1%에서 조사하라.

 

|X = 14.2

n = 50

s = 3.4

trust = 99

 

H_0 : m >= 15.5 ==> 하단측 검정

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
# MEANS_A = 48.5
# MEANS_B = 50
# MEANS = MEANS_A-MEANS_B
# std_a = 5
# std_b = 5
# n_a = 55
# n_b = 47
# STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
MEANS = 14.2
STDS = 3.4
n = 50

ax.set_title('하단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 99 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=-t_1)  , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = 1- scipy.stats.norm.cdf(-t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z>={-t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area) ,3)
# ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


# plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)

ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' + f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round((MEANS-15.5)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)
#
# z_1 = abs(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area =  scipy.stats.norm.cdf(z_1)


# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=( -3 - z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P( P(Z<={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

하단측 검정

 

p-value : 0.0035

 

alpha : 0.010

 

p-value < alpha ==> 0.0035 < 0.010 ==> 귀무가설 H_0 : m >= 15.5 은 기각 ==> 대립가설 H_0 : m< 15.5 채택한다.

 

4. 2주 동안 유럽 여행을 하는데 소요되는 평균 경비는 300만원을 초과한다고 한다. 이를 알아보기 위하여 어느 날 인천국제공항에서 유럽 여행을 다녀온 사람 70명을 임의로 선정하여 조사한 결과 여행 경비는 평균 310만원 이었다. 여행 경비는 표준편차가 25.6만 원인 정규분포를 따르는 것으로 알려져 있다. 이 자료를 근거로 평균 경비가 300만 원을 초과하는지 유의수준 5%에서 조사하라.

 

|X = 310

n = 70

s = 25.6

trust = 95

 

H_0 : m <= 300 ==> 상단측 검정( 부등호가 있는것 귀무가설 설정)

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
# MEANS_A = 48.5
# MEANS_B = 50
# MEANS = MEANS_A-MEANS_B
# std_a = 5
# std_b = 5
# n_a = 55
# n_b = 47
# STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
MEANS = 310
STDS = 25.6
n = 70

ax.set_title('상단측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 95 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=t_1)  , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1)

plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area) ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
# ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)

ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' + f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round((MEANS-300)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)

z_1 = abs(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area =  1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)


# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P(Z>={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

상단측 검정

p-value : 0.0005

 

alpha : 0.05

 

p-value < alpha ==> 0.0005 < 0.005 ==> 귀무가설 H_0 : m <= 300 은 기각 ==> 대립가설 H_0 : m> 300 채택한다.

 

5. 환경부는 휴대전화 케이스 코팅 중소기업들이 집중된 어느 지역에서 오염물질인 총탄화수소의 대기배출 농도가 평균 902 ppm이라고 한다. 이를 알아보기 위하여 이 지역의 중소기업 50곳의 총탄화수소 대기배출 농도를 조사한 결과, 평균 농도가 895ppm이고 표준편차가 25.1ppm이었다. 이 자료를 근거로 환경부의 주장에 대하여 유의수준 5%에서 조사하라.

 

|X = 895

n = 50

s = 25.1

trust = 95

 

H_0 : m == 902 ==> 양측검정

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
# MEANS_A = 48.5
# MEANS_B = 50
# MEANS = MEANS_A-MEANS_B
# std_a = 5
# std_b = 5
# n_a = 55
# n_b = 47
# STDS = round(math.sqrt(std_a**2/n_a + std_b**2/n_b),3)
MEANS = 895
STDS = 25.1
n = 50

ax.set_title('양측검정' ,fontsize = 18)



#==========================================귀무가설 기각과 채택 ====================================================
trust = 95 #신뢰도_유의수준

t_1  = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )


ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=t_1) & (x>=-t_1) , facecolor = 'orange') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(t_1) - scipy.stats.norm.cdf(-t_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red')
plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-t_1}<=Z<={t_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)

annotate_len = stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) /2
ax.vlines(x= t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -t_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-t_1, loc=0 , scale =1) , color = 'green' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

area = round((1-area)/2 ,3)
ax.text(1 + t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)
ax.text(-2.5 -t_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-t_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\n'+ r'$\alpha/2 = {%.3f}$' % area,fontsize=15)


plt.annotate('' , xy=(t_1, annotate_len), xytext=(t_1+ 1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-t_1, annotate_len), xytext=(-1-t_1 , annotate_len+0.02)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))



# ax.text(-5.5 , .25, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'-{t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$' +' , '+ r'$\left( \overline{x}-\overline{y}\right)$' +f'+ {t_1}' + r'$\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\dfrac{\sigma_{2} ^{2}}{m}}$',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{t_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % t_1,fontsize=15)

ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}$ = ' + f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
# ax.text(2 , .35,  r'$\overline{X}_{1}$ = ' +f'{MEANS_A}'+   r' , $\overline{X}_{2}$ = ' +f'{MEANS_B}\n' + r'$\sigma_{1} = $' + f'{std_a}' + r', $\sigma_{2} = $' + f'{std_b}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n_a),3)}' + r', $\sqrt{m} = $' + f'{round(math.sqrt(n_b),3)}',fontsize=15)



#============================================표본평균의 정규분포화 =========================================================
z_1 = round((MEANS-902)/ math.sqrt(STDS**2/n) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
# z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )
print(z_1)

z_1 = abs(z_1)
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) | (x<=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=t_1) | (x<=-t_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔
area = scipy.stats.norm.cdf(-z_1) + 1- scipy.stats.norm.cdf(z_1)


ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1- 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(-1.5 , annotate_len+0.01 , f'P-VALUE: \n  P(Z<={-z_1}) + P(Z>={z_1})  = {round(area,4)}',fontsize=15)


b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

양측검정

p-value : 0.0488

 

alpha : 0.05

 

p-value < alpha ==> 0.0488 < 0.005 ==> 귀무가설 H_0 : m == 902 은 기각 ==> 대립가설 H_0 : m!= 902 채택한다.