★표본분포★이산균등분포★표본추출 방법★모집단 분포★기초통계학-[모집단 분포와 표본분포 -01]

1) 모집단 분포

 

1. 모집단 분포(Population Distribution)

 

==> 실제 현장에서 모집단의 모든 자료값을 구하는 것은 어렵다.

 

==> 표본을 선정하여 모집단의 특성을 과학적으로 추론 ==> 추측 통계학

 

==> 어떤 통계적 실험 결과인 모집단의 자료가 가지는 확률분포

 

 

2) 표본추출 방법

 

1. 표본추출 방법_ 단순임의 추출법(Simple Random Sampling)

 

==> 추측통계학은 표본을 기초로 하여 알려지지 않은 모수를 추론

 

==> 공정하고 객관적인 방법으로 표본을 선정해야만 함.

 

 

 

단순임의 추출법 ==> 모집단을 형성하고 있는 대상들의 선정 가능성이 동등하도록 추출

 

==>but. 시간이 부족한 환경에서는 부적당하다.

 

EX) 1000명의 평균 점수를 추론하기 위해 30명으로 구성된 표본을 선정 ==> 동일한 크기의 메모지에 각자의 학번 기재이후 30 장의 메모지를 꺼낸다.

2. 표본추출 방법_ 계통 추출법(Systematic Sampling)

 

==> 각 모집단의 각 대상에 일련번호 부여하고, 1,2,3,....n 중에서 어느 하나를 무작위로 선정한 이후로 k씩 커지는 순서로 표본 선정

 

EX) 1000개의 지점별로 판매한 평균 수입 추정 ==> 100개의 지점 선정

 

==> 100개의 매출 장부 선정하는 과정의 시간 낭비 발생

 

==> 0~9사이의 임의의 수를 선정 이후 10씩 커지는 숫자 선정 ==> K씩 커지도록 표본 선정

3. 표본추출 방법_ 층화 추출법(Stratified Sampling)

 

==> 모집단의 특성에 따라 층화된 곳에서 각 층마다 표본을 무작위로 추출

 

 

EX) 정당의 지지율에 대한 표본 추출 ==> 전국을 각 권역별로 할당된 수만큼 표본 선정

 

 

4. 표본추출 방법_ 집락 추출법(Cluster Sampling)

 

==> 모집단을 몇 개의 조사 단위인 집락으로 구분, 집락을 추출단위로 표본 추출

 

EX) 서울시 거주 가구의 월평균 소득 조사

==> 25개의 행정구역(집락)으로 분할 ==> 5개 구를 무작위로 선정하여 표본 추출

 

 

3) 표본분포

 

1. 표본의 크기(Sample Size) , 표본평균(Sample mean) , 표본분산(Sample Variance)

==> 모집단으로부터 표본 추출 ==> 표본으로 선정된 대상의 수

 

==> 선정된 표본의 평균과 분산 ==> 표본평균 , 표본분산

 

2. 표본분포(Sampling Distribution)

 

==> 모집단에서 크기 n인 표본을 반복하여 선정할 때 얻어지는 통계량의 확률분포

https://knowallworld.tistory.com/214

★DDOF = 1★모/표본분산 , 모/표본표준편차★평균편차★기초통계학-[Chapter03 - 04]

==> 참고

표본평균

표본분산

표본표준편차

 

EX-01) 1,2,3,4 의 번호가 적힌 공을 주머니에 넣고 복원추출에 의해 임의로 2개를 추출하여 표본 선정==> 각각의 공이 나올 확률을 동일하게 1/4

 

1> 표본으로 나올 수 있는 모든 경우의 수

 

print(list(itertools.permutations(np.arange(1,5) ,  2)))

[(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)] ==>12

 

==> 순열

 

print(list(itertools.product(np.arange(1,5) , repeat = 2)))

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)]==>16

 

==> 중복순열

 

==> 복원추출이므로 중복순열 해야한다!

https://knowallworld.tistory.com/230

복원, 비복원 추출★SET활용하여 차집합,여집합 가능!★기초통계학-[Chapter04 - 경우의 수-03]

 

2> 표본평균

 

a = list(itertools.product(np.arange(1,5) , repeat = 2))
a = sorted(list(set(list(map(lambda x : np.mean(x) , a)))))
a

==> list(map(lambda) 활용

[1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0]

 

3> 표본평균 |X의 확률 분포

 

a = list(itertools.product(np.arange(1,5) , repeat = 2))

b = list(map(lambda x : np.mean(x) , a))
d = deque()
for i in zip(a,b):
    d.append(i)
c = sorted(list(set(list(map(lambda x : np.mean(x) , a)))))
print(b)
print(c)
print(d)

b ==> 표본의 요소별 평균 : [1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0]

c ==> 평균 나열 : [1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0]

d ==> zip으로 나열 deque([((1, 1), 1.0), ((1, 2), 1.5), ((1, 3), 2.0), ((1, 4), 2.5), ((2, 1), 1.5), ((2, 2), 2.0), ((2, 3), 2.5), ((2, 4), 3.0), ((3, 1), 2.0), ((3, 2), 2.5), ((3, 3), 3.0), ((3, 4), 3.5), ((4, 1), 2.5), ((4, 2), 3.0), ((4, 3), 3.5), ((4, 4), 4.0)])

 

d = deque(sorted(d , key = lambda x : x[1]))
d


print(d)

==> 요소별 평균의 순서로 sort

 

deque([((1, 1), 1.0), ((1, 2), 1.5), ((2, 1), 1.5), ((1, 3), 2.0), ((2, 2), 2.0), ((3, 1), 2.0), ((1, 4), 2.5), ((2, 3), 2.5), ((3, 2), 2.5), ((4, 1), 2.5), ((2, 4), 3.0), ((3, 3), 3.0), ((4, 2), 3.0), ((3, 4), 3.5), ((4, 3), 3.5), ((4, 4), 4.0)])

 

e =[[] for i in range(len(c))]
# print(type(d))
# print(len(a))
p=0
print(len(d))

while len(d)>=2:
    if d[0][1] == d[1][1]:
        e[p].append(d[0][0])
        print(f'e: {e}')
        d.popleft()
        print(f'd: {d}')
    else:
        e[p].append(d[0][0])
        print(f'일치  x e: {e}')
        d.popleft()
        p+=1
e[p].append(d[-1][0])
e

==> 알고리즘 이상하다. 

 

e ==> 2중 리스트 생성

 

d ==> deque이므로 popleft() 사용 가능

 

e = [[(1, 1)], [(1, 2), (2, 1)], [(1, 3), (2, 2), (3, 1)], [(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)], [(2, 4), (3, 3), (4, 2)], [(3, 4), (4, 3)], [(4, 4)]]

 

B = pd.DataFrame([e ,c]).T
B.rename(columns= {0 : '표본' , 1: '|X'} , inplace = True)
B
b_len = [len(i) for i in B['표본']]
b_len
B['표본길이'] = b_len
B['P(|X = x)'] = B['표본길이'] / len(a)
B

4> 표본평균 |X의 평균과 분산

 

B['평균'] = B['|X'] * B['P(|X = x)']
B

MEANS = np.sum(B['평균'])
MEANS

==> 2.5

 

 

B['분산'] = (B['|X']**2) * B['P(|X = x)']
B

VARS = np.sum(B['분산'])
VARS

VARS = 6.875

print(VARS - math.pow(MEANS, 2))

==> 6.875 - (2.5)**2 = 0.625

print(f'모분산 var : {np.var(b ,ddof =0)}')
print(f'표본분산 var : {np.var(b ,ddof =1)}')

모분산 var : 0.628
표본분산 var : 0.666666==> 틀리다?!

 

 

5> 모평균의 평균과 분산

 

https://knowallworld.tistory.com/245

★초기하분포★기하분포★이산균등분포★기초통계학-[Chapter05 - 이산확률분포-06]

x = 1 , 2, 3, 4

 

평균 = (1+4)/2 = 2.5

분산 = (4**2 -1) /12 = 1.25 ==> 이산균등분포에선 np.var() 사용하면 안된다 ==> 표본분산이 아닌 모분산 

 

==> because 다 뽑았기 때문이다!!!!!!

 

 

EX-02) 1, 2, 3 의 번호가 적힌 공을 주머니에 넣고 복원추출에 의해 임의로 2개를 추출하여 표본, 각각의 공이 나올 확률은 1/3 이다.

 

1> 표본으로 나올 수 있는 모든 경우의 수

a = list(itertools.product(np.arange(1,4) , repeat = 2))
print(a)

 

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)]

 

2> 표본의 평균

a = list(itertools.product(np.arange(1,5) , repeat = 2))

b = list(map(lambda x : np.mean(x) , a))
d = deque()
for i in zip(a,b):
    d.append(i)
c = sorted(list(set(list(map(lambda x : np.mean(x) , a)))))
print(b)
print(c)
print(d)

b = [1.0, 1.5, 2.0, 1.5, 2.0, 2.5, 2.0, 2.5, 3.0]

c = [1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0]

 

3> 표본평균 |X의 확률분포를 구하라.

d = deque(sorted(d , key = lambda x : x[1]))
e =[[] for i in range(len(c))]
# print(type(d))
# print(len(a))
p=0
print(len(d))

while len(d)>=2:
    if d[0][1] == d[1][1]:
        e[p].append(d[0][0])
        print(f'e: {e}')
        d.popleft()
        print(f'd: {d}')
    else:
        e[p].append(d[0][0])
        print(f'일치  x e: {e}')
        d.popleft()
        p+=1
e[p].append(d[-1][0])
e

[[(1, 1)],  [(1, 2), (2, 1)],  [(1, 3), (2, 2), (3, 1)], [(2, 3), (3, 2)], [(3, 3)]]

 

B = pd.DataFrame([e ,c]).T
B.rename(columns= {0 : '표본' , 1: '|X'} , inplace = True)
B
b_len = [len(i) for i in B['표본']]
b_len
B['표본길이'] = b_len
B['P(|X = x)'] = B['표본길이'] / len(a)
B

4> 표본평균 |X의 평균과 분산을 구하라.

 

B['평균'] = B['|X'] * B['P(|X = x)']
B

MEANS = np.sum(B['평균'])
MEANS

==> 2.0

 

B['분산'] = (B['|X']**2) * B['P(|X = x)']
B

==> 0.333

b

==> [1.0, 1.5, 2.0, 1.5, 2.0, 2.5, 2.0, 2.5, 3.0]

print(f'모분산 var : {np.var(b ,ddof =1)}')
print(f'표본분산 var : {np.var(b ,ddof =0)}')

모분산 var : 0.375
표본분산 var : 0.3333333333333333

 

5> 모집단의 평균과 분산을 구하라.

 

모평균 = 1+3 /2  = 2

모분산 = 3**2 - 1 / 12 = 8/12 = 2/3

 

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용