★초기하분포★기하분포★이산균등분포★기초통계학-[Chapter05 - 이산확률분포-06]

1. 이산균등분포(Discrete Uniform Distribution)

 

1> 동전을 한 번 던져서 앞면이 나온 횟수를 X

 

==> p(x) = 1/2 , x= 0 ,1

 

 

2>  주사위를 한 번 던질 때 나온 눈의 수를 확률 변수 X라 하면

 

==> p(x) = 1/6 , x =1 , 2, 3, 4, 5, 6

 

 

==> 각 경우의 확률함수 값이 1/n으로 동등한 이산확률분포를 모수 n인 이산균등분포

 

==> X ~ DU(n)으로 나타난다.

 

이산균등분포에 대한 확률 함수

이산균등분포 평균

이산균등분포 분산

 

EX ) 로또 1~45 나온 공의 숫자를 확률변수 X

 

1> X의 확률 함수

 

X ~ DU(45) 

 

p(x) = 1/45 , x = 1, 2, 3, ... , 45

 

2> X의 평균과 분산

 

m = (1+ 45) /2 = 23 

o**2 = (45**2 - 1)  /12 ~~ 168.67

 

3> 한 자리 숫자가 나올 학률

 

P(1<= X <=9) = p(1) + p(2) + ..... p(9) = 9/45 = 1/5 = 0.2

 

 

EX-02 ) 룰렛게임에서 던진 공이 들어간 숫자를 X

 

1> X의 확률변수

 

p(x) = 1/36 , x=1,2,3,4,...,36

 

2> X의 평균과 분산, 표준편차

 

E(X) = (36 +1) / 2 = 18.5

 

V(X) = (36**2 - 1) / 12 ~~ 107.9166

 

3> 30이상의 숫자가 선택될 확률

 

P(X>=30) = 7/36 = 0.1944

 

 

2. 기하분포(Discrete Uniform Distribution)

 

==> 처음으로 X가 취할 수 있는 숫자는 1,2,3...

 

==> 확률변수 x는 매회 성공률이 1/6인 베르누이 실험을 처음으로 성공할 때까지 독립적으로 반복 시행한 횟수를 의미

 

==> 매회 성공률이 p인 베르누이 실험을 처음으로 성공 할때까지 반복 시행한 횟수에 관한 확률분포를 모수 p인 기하분포

 

X ~ G(p)로 나타낸다.

 

기하분포

기하분포 평균

기하분포 분산

X = np.arange(1, 10)

p = 0.5
P = []
for i in X:
    P.append( (p) * ((1-p)**(i-1)) )

A = pd.DataFrame([P] , columns = X)
A.index =['P(X = x)']
A.columns.names = ['X']
A

기하분포_동전이 앞면이 나올 횟수

fig = plt.figure(figsize  = (15,8))

ax = sns.barplot(x= X, y = A.loc['P(X = x)'])
ax.set_title('주사위 기하분포')
ax.set_xlabel('확률' , rotation = 0 , fontsize= 15 , labelpad=18)
ax.set_ylabel('횟수', rotation = 0 , fontsize = 15 , labelpad=18)
ax.set_yticks(np.arange(0,0.51 , 0.025))

for i,txt in enumerate(A.loc['P(X = x)']):
    b = txt
    print(b)
    if  b == max(A.loc['P(X = x)']):
        ax.text(i, b+0.004, str(txt)+'%' , ha='center' , color = 'red' , fontweight = 'bold' , fontsize=17)
        #어디 막대, 막대기의 위쪽에
    else:
        ax.text(i, b+0.005, str(txt)+'%' , ha='center' , color = 'dimgray' , fontsize=13 , fontweight = 'bold')

기하분포 히스토그램

EX-01) 신용카드 한 장 판매할 확률 0.1 ==> 처음 카드 팔때까지 고객 만난 횟수 X

 

1> X의 확률함수

 

X ~ G(0.1) 

 

p = 0.1 * (0.9 ** (x-1) ) 

 

2> X의 평균과 분산

 

평균(뮤) = 1/p = 1/ 0.1 = 10

V(x) = 0.9 / (0.1 **2) = 90

 

3> 5번째 만난 고객과 7번째 만난 고객 사이에 처음으로 카드를 팔 확률

p = 0.1
q = 1 - p
p_x = 0
for i in range(5,8):
    p_x += p * (math.pow(q, i-1))
print(p_x)

P(5<= X <= 7) = P(5) + P(6) + P(7) = 0.1778

 

 

EX-02) 폐결핵 5.8% , 양성반응을 보인 사람이 처음으로 발견될 때까지 검사를 받은 노숙인 수를 X

 

1> X의 확률함수

 

X ~ G(0.058) 

 

p(x) = 0.058 * ((1-0.058)**(x-1))

 

2>평균적으로 몇 번째 노숙인에게서 처음 양성반응?

 

E(x) = 1/p = 1/ 0.058 = 17.2413

 

17번째

 

 

 

3. 초기하분포(Hypergeometric Distribution)

 

1> 빨간공 4개 , 파란공 5개 있는 주머니에서 공 4개를 꺼내는 경우의 수 와 빨간 공 2개와 파란 공 2개를 꺼내는 경우의 수

 

==> 표본점 : 9C4 ==> 126

 

==> 빨간공 2개 , 파란 공 2개 ==> 4C2 * 5C2 = 60

 

==> P(빨간 공 2개와 파란 공 2개) = (4C2 * 5C2) / (9C4) = 60/126 = 10/21

 

초기하분포 확률함수

초기하분포 평균

초기하분포 분산

==> 빨간공 r개 , 파란공 N-r개 가 들어있는 주머니에서 공 n개를 임의로 꺼낼때 꺼낸 공 n개 안에 포함된 빨간 공의 개수 X에 대한 확률분포를 모수 N,r,n인 초기하분포

 

X~ H(N , r , n) 으로 나타낸다.

 

 

EX-01) 여자 4명 , 남자 6명이 있는 그룹에서 무작위 2명 산출

 

1> 선출된 2명 중에 포함되어있는 남자 수에 대한 확률 함수

 

N = 10 , n = 6 , r= 2

X ~ H(10 , 6 , 2) 

 

p(x) = (6Cx * 4C2-x) / 10C2

 

 

2> 선출된 남자 수에 대한 평균과 분산

 

평균(뮤) = n* (r/N) = 2 * 6/10 = 1.2

 

분산 = 6 * (2/10) (1 - (2/10) ) ( (10-6) / (10-1) ) = 0.4266

 

3>선출된 2명이 모두 남자

 

P(X=2) = 6C2 * 4C0 / 10C2 = 0.333

 

4>여자 1명, 남자 1명

 

P(X=1) = 6C1 * 4C1 / 10C2 = 6*4/ 45 = 8/15

 

 

EX-02) 빨간 공 4개 , 파란 공 5개 들어 있는 주머니에서 공 4개 꺼낼 때, 공 4개 중에 포함된 빨간공의 수를 X

 

1> X의 확률 함수

 

N = 9 , n = 4 , r=4

X ~ H(N,n,r)

 

P(x) = (4Cx * 5C4-x) / 9C4

 

2> 평균과 분산

 

평균(뮤) = n * r/N = 4 * 4/9 = 16/9

 

분산 = 4 * (4/9) * (1 - 4/9) * ( (9 -4) / (9-1) ) = 0.6172

 

3> 빨간공 3개와 파란 공 1개가 나올 확률

 

P(X=3) = 4C3 * 5C 1 / 9C4 = 20/126 = 10/63

 

 

==> r/N = p 가 일정하고 N이 충분히 크면 H(N , r , n) ~~ B(n, p) 이다.

 

==> 평균 : np , 분산 : npq

https://knowallworld.tistory.com/241

이항분포식★이항실험★이항분포의 평균,분산★베르누이시행★기초통계학-[Chapter05 - 이산확률

==> 이항분포 참고

EX-03) 500명 모집하는 공무원에서 남자 200명과 여자 300명 합격 ==> 10명 무작위로 선정 ==> 여자가 6명일 확률

 

p = 300/500 = 0.6

n = 10

N = 500

r = 6

 

X ~ H(500 , 300 , 10) 

X ~~ B(10 , 0.6)

b = len(list(itertools.combinations(np.arange(10) , 6)))*(math.pow(0.6 , 6)) *(math.pow(0.4 , 4))
print(b)

==> 10C6 * ((0.6)**6) * ((0.4)**4)

P(X=6) = 0.2508

 

 

EX-04) 200개의 상품 중 20개가 불량 ==> 20개 무작위 선정 ==> 2개가 불량품일 근사확률

 

N = 200

n = 20

r =2

p = 20/200 = 0.1

 

X ~ H(200 , 2 , 20) 

X ~ B(20 , 0.1)

b = len(list(itertools.combinations(np.arange(20) , 2)))*(math.pow(0.1 , 2)) *(math.pow(0.9 , 18))
print(b)

==> 0.28517

 

 

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용