★카이제곱분포★모분산에 대한 소표본 추론★기초통계학-[소표본 추론-06]

1. 모분산에 대한 소표본 추론

==> 정규모집단의 모분산과 모표준편차에 대한 구간추정 및 가설검정 방법

 

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★종합선물세트★F-분포(표본분산의 비 이용!)★표본평균의 차에 따른 확률분포!★합동표본분산

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★표본분산 S**2 , 관찰 표본분산 s_0**2★카이제곱분포표★모분산의 표본분포★기초통계학-[모집

카이제곱분포

EX-01) 어느 제약회사에서 생산되는 캡슐 감기약의 무게에 대한 분산을 알아보기 위하여 시중에서 판매되는 감기약 16개를 수거하여 무게를 측정한 결과 다음과 같았다. 이 자료를 이용하여 다음을 구하라.

X = np.arange(0,30 , .01)

fig = plt.figure(figsize=(20,12))


A = '4.23 4.26 4.26 4.24 4.27 4.23 4.19 4.27 4.21 4.25 4.23 4.29 4.30 4.24 4.20 4.24'
A= list(map(float , A.split(' ')))

Vars = np.var(A , ddof=1)

dof_2 = [len(A)-1] #자유도

trust = 95
trust = round((1- trust/100)/2,3)

n = len(A)

STDS = math.sqrt(Vars)
ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) )
X_r =  scipy.stats.chi2(dof_2).ppf(1-trust)
X_l = scipy.stats.chi2(dof_2).ppf(trust)
# t_r = round( (x_0 - (0)) / (math.sqrt(33.463) * math.sqrt(1/16 + 1/16)), 3)
print(X_r)


ax.fill_between(X, scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X>=X_r) | (X<=X_l) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔
ax.fill_between(X, scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X<=X_r) & (X>=X_l) , facecolor = 'orange')



ax.vlines(x = X_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_r) , colors = 'black')
ax.vlines(x = X_l ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_l) , colors = 'black')
plt.annotate('' , xy=(X_r + 2, .001), xytext=(28 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(X_l - 2, .001), xytext=(2 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
area = 1- scipy.stats.chi2(dof_2).cdf(X_r)
ax.text(X_r , .011, r'$\chi^2_{%.3f}$' % trust + f'= {area}',fontsize=15)
ax.text(X_l- 5 , .011, r'$\chi^2_{%.3f}$' % (1-trust) + f'= {area}',fontsize=15)


ax.text(18 , 0.07 , f'n< 10에 대한 신뢰구간\n' + r'$(e_{%d})= \left(\dfrac{(n-1)s^{2}}{X^2_{\alpha/2 , n-1}} ,\dfrac{(n-1)s^{2}}{X^2_{-(\alpha/2) , n-1}} \right)$' % ((1- (trust*2))*100) + f'\n = ({round(float((n-1) * STDS**2 / X_r),5)} , {round(float((n-1) * STDS**2 / X_l),5)})' , fontsize = 16)
ax.text(18 , 0.05 ,f'n>= 10에 대한 신뢰구간\n' +  r'신뢰구간$(e_{%d}) = \left(s\sqrt{\dfrac{(n-1)}{X^2_{\alpha/2 , n-1}}} ,s\sqrt{\dfrac{(n-1)}{X^2_{-(\alpha/2) , n-1}}} \right)$' % ((1- (trust*2))*100) + f'\n = ({round(math.sqrt((n-1) * STDS**2 / X_r),4)} , {round(math.sqrt((n-1) * STDS**2 / X_l),4)})' , fontsize = 16)
ax.text(0 , 0.07 , r'카이제곱분포(V) = $\left(\dfrac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\right)$' + f'\n n = {n}\n s = {STDS}' , fontsize = 16)


ax.text(X_l + 0.4 , scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_l)/2 , r'$\chi^2_L= {%.4f}$' % X_l  , fontsize = 13)
ax.text(X_r - 3 , scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_r)/2 , r'$\chi^2_R= {%.4f}$' % X_r   , fontsize = 13)


b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

카이제곱분포를 따르는 신뢰구간

 

==> 모분산에 의한 신뢰구간 ==> (0.0005 , 0.0022)

 

==> 모표준편차에 의한 신뢰구간 ==> (0.0224 , 0.0469)

 

 

EX-02) 제주도에서 여름 휴가를 보내기 위해 무작위로 동일한 규모의 펜션 사용료를 조사한 결과 다음과 같았다. 물음에 답하라.

 

X = np.arange(0,30 , .01)

fig = plt.figure(figsize=(20,12))


A = '12.5 11.5 6.0 5.5 15.5 11.5 10.5 17.5 10.0 9.5 13.5 8.5 11.5 15.5'
A= list(map(float , A.split(' ')))

Vars = np.var(A , ddof=1)

dof_2 = [len(A)-1] #자유도

trust = 95
trust = round((1- trust/100)/2,3)

n = len(A)

STDS = math.sqrt(Vars)
ax = sns.lineplot(x = X , y=scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) )
X_r =  scipy.stats.chi2(dof_2).ppf(1-trust)
X_l = scipy.stats.chi2(dof_2).ppf(trust)
# t_r = round( (x_0 - (0)) / (math.sqrt(33.463) * math.sqrt(1/16 + 1/16)), 3)
print(X_r)


ax.fill_between(X, scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X>=X_r) | (X<=X_l) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , X조건 인곳 , 색깔
ax.fill_between(X, scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X) , 0 , where = (X<=X_r) & (X>=X_l) , facecolor = 'orange')



ax.vlines(x = X_r ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_r) , colors = 'black')
ax.vlines(x = X_l ,ymin=0 , ymax= scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_l) , colors = 'black')
plt.annotate('' , xy=(X_r + 2, .001), xytext=(28 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(X_l - 2, .001), xytext=(2 , .01)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
area = 1- scipy.stats.chi2(dof_2).cdf(X_r)
ax.text(X_r , .011, r'$\chi^2_{%.3f}$' % trust + f'= {area}',fontsize=15)
ax.text(X_l- 5 , .011, r'$\chi^2_{%.3f}$' % (1-trust) + f'= {area}',fontsize=15)


ax.text(18 , 0.07 , f'n< 10에 대한 신뢰구간\n' + r'$(e_{%d})= \left(\dfrac{(n-1)s^{2}}{X^2_{\alpha/2 , n-1}} ,\dfrac{(n-1)s^{2}}{X^2_{-(\alpha/2) , n-1}} \right)$' % ((1- (trust*2))*100) + f'\n = ({round(float((n-1) * STDS**2 / X_r),5)} , {round(float((n-1) * STDS**2 / X_l),5)})' , fontsize = 16)
ax.text(18 , 0.05 ,f'n>= 10에 대한 신뢰구간\n' +  r'신뢰구간$(e_{%d}) = \left(s\sqrt{\dfrac{(n-1)}{X^2_{\alpha/2 , n-1}}} ,s\sqrt{\dfrac{(n-1)}{X^2_{-(\alpha/2) , n-1}}} \right)$' % ((1- (trust*2))*100) + f'\n = ({round(math.sqrt((n-1) * STDS**2 / X_r),4)} , {round(math.sqrt((n-1) * STDS**2 / X_l),4)})' , fontsize = 16)
ax.text(0 , 0.07 , r'카이제곱분포(V) = $\left(\dfrac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\right)$' + f'\n n = {n}\n s = {STDS}' , fontsize = 16)


ax.text(X_l + 0.4 , scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_l)/2 , r'$\chi^2_L= {%.4f}$' % X_l  , fontsize = 13)
ax.text(X_r - 3 , scipy.stats.chi2(dof_2).pdf(X_r)/2 , r'$\chi^2_R= {%.4f}$' % X_r   , fontsize = 13)


b = ['t-(n={})'.format(i) for i in dof_2]
plt.legend(b , fontsize = 15)

카이제곱분포를 따르는 신뢰구간

==> 모분산에 의한 신뢰구간 ==> (6.27493 , 30.98862)

 

==> 모표준편차에 의한 신뢰구간 ==> (2.505 , 5.5667)