★채택역★기각역★양측검정★상단측검정★하단측검정★기초통계학-[통계적 가설검정 -02]

1. 검정 방법

==> H_0을 통계적으로 검정하는 방법

 

㉠ 귀무가설 H_0와 대립가설 H_1을 설정한다.

 

㉡ 유의수준 a 를 정한다.

 

㉢ 적당한 검정통계량을 선택한다.

 

㉣ 유의수준 a에 대한 임계값과 기각역을 구한다.

 

㉤ 표본으로부터 검정통계량의 관찰값을 구하고, H_0의 채택과 기각 여부를 결정한다.

 

검정유형	귀무가설	대립가설
양측검정
하단측검정
상단측검정

 

2. 양측검정(two sided hypothesis)

==> 귀무가설 H_0 : Θ = Θ_0 에 대하여 대립가설 H_1 : Θ != Θ_0으로 구성되는 검정 방법이다.

 

EX) 귀무가설 H_0 : m = m_0 이고 유의수준 a라 하면

 

==> 양쪽 꼬리 확률이 각각 a/2가 되는 두 임계값 +-z_a/2에 의해 세 영역으로 분리된다.

 

==> 양쪽 꼬리부분은 귀무가설 H_0을 기각 시키는 기각역 이고, 중심 부분은 H_0의 채택역이다.

 

==> 채택역은 신뢰도 (1-a)100%인 신뢰구간과 일치한다.

 

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
ax.set_title('양측검정' ,fontsize = 18)
# z_1 = round((0.05) / math.sqrt( 0.0018532 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x<=z_1) & (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where = (x>=z_1) | (x<=-z_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area = scipy.stats.norm.cdf(z_1) - scipy.stats.norm.cdf(-z_1)
plt.annotate('' , xy=(0, .1), xytext=(2 , .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(-1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
ax.text(1 + z_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{z_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
ax.text(-2.5 - z_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{-z_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)



ax.text(2 , .1, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-z_1}<=Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)



MEANS = 60.8
STDS = round(math.sqrt(10.5**2),3) #모표준편차
n = 2490



# ax.text(-5.5 , .35,  r'$\overline{X} = $'+f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

# ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ = ' + f'({round(MEANS - z_1*STDS/math.sqrt(n),2)} , {round(MEANS + z_1*STDS/math.sqrt(n),2)})',fontsize=15)
# ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(2* z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
#
# ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1,fontsize=15)

양측검정 결과 H_0의 기각과 채택

3. 상단측검정(one sided upper hypothesis)

==> 귀무가설 H_0 : Θ <= Θ_0에 대하여 대립가설 H_1 :  Θ > Θ_0으로 구성되는 가설 검정이다.

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
ax.set_title('상단측검정' ,fontsize = 18)
# z_1 = round((0.05) / math.sqrt( 0.0018532 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=z_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area = scipy.stats.norm.cdf(z_1)
plt.annotate('' , xy=(0, .2), xytext=(2 , .2)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
# ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(-1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.text(1 + z_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{round(scipy.stats.norm.ppf(trust/100),3)}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
ax.text(1 + z_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha} = $' + f'{z_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\nP(Z>={z_1}) = {round(1-area ,3)}',fontsize=15)



ax.text(2 , .2, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP(Z<={z_1}) : {round(area,4)}',fontsize=15)



MEANS = 60.8
STDS = round(math.sqrt(10.5**2),3) #모표준편차
n = 2490



# ax.text(-5.5 , .35,  r'$\overline{X} = $'+f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

# ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ = ' + f'({round(MEANS - z_1*STDS/math.sqrt(n),2)} , {round(MEANS + z_1*STDS/math.sqrt(n),2)})',fontsize=15)
# ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(2* z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
#
# ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1,fontsize=15)

상단측검정 결과 H_0의 기각과 채택

4. 하단측검정(one sided lower hypothesis)

 

==> 귀무가설 H_0 : Θ >= Θ_0에 대하여 대립가설 H_1 :  Θ < Θ_0으로 구성되는 가설 검정이다.

x = np.arange(-5,5 , .001)

fig = plt.figure(figsize=(15,8))
ax = sns.lineplot(x , stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1)) #정의역 범위 , 평균 = 0 , 표준편차 =1 인 정규분포 플롯

trust = 95 #신뢰도
ax.set_title('하단측 검정' ,fontsize = 18)
# z_1 = round((0.05) / math.sqrt( 0.0018532 ) ,2)
# # z_2 = round((34.5 - 35) / math.sqrt(5.5**2 / 25) , 2)
z_1 = round(scipy.stats.norm.ppf(1 - (1-(trust/100))/2) ,3 )

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x>=-z_1) , facecolor = 'skyblue') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔

ax.fill_between(x, stats.norm.pdf(x, loc=0 , scale =1) , 0 , where =  (x<=-z_1) , facecolor = 'red') # x값 , y값 , 0 , x<=0 인곳 , 색깔



area = 1- scipy.stats.norm.cdf(-z_1)
plt.annotate('' , xy=(0, .1), xytext=(2 , .1)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))

# ax.vlines(x= z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))
ax.vlines(x= -z_1, ymin= 0 , ymax= stats.norm.pdf(-z_1, loc=0 , scale =1) , color = 'black' , linestyle ='solid' , label ='{}'.format(2))

annotate_len = stats.norm.pdf(z_1, loc=0 , scale =1) /2
# plt.annotate('' , xy=(z_1, annotate_len), xytext=(z_1+ 1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
plt.annotate('' , xy=(-z_1, annotate_len), xytext=(-1-z_1 , annotate_len)  , arrowprops = dict(facecolor = 'black'))
# ax.text(1 + z_1 , annotate_len , r'$z_{\alpha/2} = $' + f'{round(scipy.stats.norm.ppf(trust/100),3)}\n' + r'$H_{0}$의 기각역',fontsize=15)
ax.text(-2.5 - z_1 , annotate_len+0.02 , r'$z_{\alpha} = $' + f'{-z_1}\n' + r'$H_{0}$의 기각역' + f'\nP(Z<={-z_1}) = {round(1-area ,3)}',fontsize=15)



ax.text(2 , .1, r'$H_{0}$의 채택역' +f'\nP({-z_1}<=Z) : {round(area,4)}',fontsize=15)



MEANS = 60.8
STDS = round(math.sqrt(10.5**2),3) #모표준편차
n = 2490



# ax.text(-5.5 , .35,  r'$\overline{X} = $'+f'{MEANS}\n' + r'$\sigma = $' + f'{STDS}\n' + r'$\sqrt{n} = $' + f'{round(math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

b= 'N(0,1)'

plt.legend([b] , fontsize = 15 , loc='upper left')

# ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ = ' + f'({round(MEANS - z_1*STDS/math.sqrt(n),2)} , {round(MEANS + z_1*STDS/math.sqrt(n),2)})',fontsize=15)
# ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(2* z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)
#
# ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = $' % z_1 + f'{round(z_1 * STDS / math.sqrt(n),3)}',fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .15, f'신뢰구간 모평균에 대한 {trust}% : \n' + r'$\overline{X}$' +f'-{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}$' + f'+{z_1}' + r'$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ' ,fontsize=15)
ax.text(-5.5 , .25,  r'신뢰구간 L = $2*{%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1 ,fontsize=15)

ax.text(-5.5 , .3,  r'오차한계 = ${%.3f}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $' % z_1,fontsize=15)

하단측검정 결과 H_0의 기각과 채택

 

==> 관찰값 z_0이 기각역 안에 놓이면 귀무가설 H_0을 기각시킴

 

==> 관찰값 z_0이 채택역 안에 놓이면 귀무가설 H_0을 기각시키지 못한다.