★전확률 공식★베이즈 정리★기초통계학-[Chapter04 - 확률-06]

1. 전확률 공식(Formula of total probability)

 

전확률 공식

 

==> 사건 E에 대해 쌍마다 배반이 세 사건 E M B , E M A ,  E M U 로 분할 할 수 있다.

 

 

EX-01) 전체 인구의 30%가 흡연을 하고 있다는 걸 알고있다. BUT 흡연자의 40%가 비흡연가로 작성한다. 비흡연가는 거짓말 안한다.

구매자가 지원서에 비흡연가로 작성할 확률?

 

P(A) = 0.3 

P(A M B) = 0.3 * 0.4 = 0.12

P(A M B) + P(C) =  0.12 + 0.7 = 0.82

 

 

 

EX-02) 10%흡연을 하고 있는 걸 알고있다.  비흡연가가 올해 안에 사망할 확률은 1% , 흡연가가 올해 안에 사망할 확률은 5%, 올해 안에 사망할 확률은?

 

P('비흡연가 사망확률') = 0.01

P('흡연가 사망확률') = 0.05

P('흡연가') = 0.1

 

P('비흡연가 사망확률' | '비흡연가' ) + P('흡연가 사망확률 ' | '흡연가') = 0.01 * 0.9 + 0.05 * 0.1 = 0.009 + 0.005 = 0.014

 

==> 1.4%

 

 

2. 베이즈 정리

 

==> P(A_i) >0 인 표본공간에서 분할 사건 A1 , A2 , ... , An이 사전에 주어짐

 

==> 사건 B가 발생했을때 이 사건이 사건 A_i에 서 나왔을 확률 ( P(A_i | B) )

 

베이즈 정리

 

 

P(A_i)를 사전확률 

P(A_i | B)를 사후확률

 

EX-01) 전체 인구의 30%가 흡연을 하고 있다는 걸 알고있다. BUT 흡연자의 40%가 비흡연가로 작성한다. 비흡연가는 거짓말 안한다. 비흡연가로 작성한 지원자가 실제로 비흡연가일 확률

P(B) = 0.3 #흡연할 확률

P(B_c) = 0.7 #비흡연일 확률

P(A) = 0.7 + 0.12 #비흡연가로 작성할 확률

P(B_c | A) = [ P(B_c) P(A | B_c) ] / P(A) =  0.7 / 0.82 

 

 

 

EX-02) 10%흡연을 하고 있는 걸 알고있다.  비흡연가가 올해 안에 사망할 확률은 1% , 흡연가가 올해 안에 사망할 확률은 5%, 보험가입자가 사망 ==> 가입자가 흡연자일 확률?

 

P('비흡연가 사망확률') = 0.01

P('흡연가 사망확률') = 0.05

P('흡연가') = 0.1

 

 

P('흡연자' | P('사망확률')) = [0.05  * 0.01] / 0.014 = 0.357

 

출처 :  [쉽게 배우는 생활속의 통계학]  [북스힐 , 이재원] 

※혼자 공부 정리용